89.Gray Code(计算法+回溯+递归)

The gray code is a binary numeral system where two successive values differ in only one bit.

Given a non-negative integer n representing the total number of bits in the code, print the sequence of gray code. A gray code sequence must begin with 0.

For example, given n = 2, return [0,1,3,2]. Its gray code sequence is:

00 - 0
01 - 1
11 - 3
10 - 2

Note:
For a given n, a gray code sequence is not uniquely defined.

For example, [0,2,3,1] is also a valid gray code sequence according to the above definition.

For now, the judge is able to judge based on one instance of gray code sequence. Sorry about that.

这里没用回溯算法，而是看到网上运用了一些小技巧，直接用二进制码转化成了格雷码。

后注：转格雷码简而言之就是从最右边一位起，依次将每一位与左边一位异或(XOR)，作为对应格雷码该位的值，最左边一位不变(相当于左边是0)。

异或转换

二进制码→格雷码（编码）：

此方法从对应的n位二进制码字中直接得到n位格雷码码字，步骤如下：

1. 对n位二进制的码字，从右到左，以0到n-1编号
2. 如果二进制码字的第i位和i+1位相同，则对应的格雷码的第i位为0，否则为1（当i+1=n时，二进制码字的第n位被认为是0，即第n-1位不变）
3. 例如：二进制码0101，为4位数，所以其所转为之格雷码也必为4位数，因此可取转成之二进位码第五位为0，即0 b3 b2 b1 b0。
   0 xor 0=0，所以g3=0
   0 xor 1=1，所以g2=1
   1 xor 0=1，所以g1=1
   0 xor 1=1，所以g0=1
   因此所转换为之格雷码为0111

   class Solution {
   public:
       vector<int> grayCode(int n) {
             vector<int> res;
             for (int i = 0; i < pow(2,n); ++i) {
                 res.push_back((i / 2) ^ i);
             }
             return res;
           
       }
   };

   数学解释： 从第0个开始，第i个gray code为：(i>>1)^i(这个应该是最容易理解的)

    class Solution
     {
     public:
         /*
          * for reference: http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code.*/
         vector<int> grayCode(int n)
         {
             vector<int> ret;
            int size = 1 << n;
            for(int i = 0; i < size; ++i)
                ret.push_back((i >> 1)^i);
            return ret;
        }
    };

 这道题原来陈瑶师姐面试时需要用递归来做，而我在腾讯实习生面试时再次碰到了这道题，其实利用递归也很简单的。具体思路了参考了以下博客：

http://www.tuicool.com/articles/QrYFb2J

简介

在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同，则称这种编码为 格雷码 （Gray Code）， 另外由于最大数与最小数之间也仅一位数不同 ，即“首尾相连”，因此又称循环码或反射码 。在数字系统中，常要求代码按一定顺序变化。例如，按自然数递增计数，若采用8421码，则数0111变到1000时四位均要变化，而在实际电路中，4位 的变化不可能绝对同时发生，则计数中可能出现短暂的其它代码（1100、1111等）。在特定情况下可能导致电路状态错误或输入错误。使用格雷码可以避免 这种错误。格雷码有多种编码形式。

格雷码（Gray Code）曾用过Grey Code、葛莱码、格莱码、戈莱码、循环码、反射二进制码、最小差错码等名字，它们有的不对，有的易与其它名称混淆，建议不要再使用这些曾用名。

生成格雷码

格雷码(Gray Code)是一个数列集合，每个数使用二进位来表示，假设使用n位元来表示每个数字，任两个数之间只有一个位元值不同。

例如以下为3位元的格雷码： 000 001 011 010 110 111 101 100 。

如果要产生 n位 元的格雷码 ，那么 格雷码的 个数为2^n .

假设原始的值从0开始，格雷码 产生的规律 是：

第一步，改变最右边的位元值；

第二步，改变右起第一个为1的位元的左边位元；

第三步，第四步重复第一步和第二步，直到所有的格雷码产生完毕（换句话说，已经走了(2^n) - 1 步）。

用一个 例子 来说明：

假设产生3位元的格雷码，原始值位 000

第一步：改变最右边的位元值： 001

第二步：改变右起第一个为1的位元的左边位元： 011

第三步：改变最右边的位元值： 010

第四步：改变右起第一个为1的位元的左边位元： 110

第五步：改变最右边的位元值： 111

第六步：改变右起第一个为1的位元的左边位元： 101

第七步：改变最右边的位元值： 100

如果按照这个规则来生成格雷码，是没有问题的，但是这样做太复杂了。如果仔细观察格雷码的结构，我们会有以下发现：

1、除了最高位（左边第一位），格雷码的位元完全上下对称（看下面列表）。比如第一个格雷码与最后一个格雷码对称（除了第一位），第二个格雷码与倒数第二个对称，以此类推。

2、 最小的重复单元是 0 , 1 。

0 00

0 01

0 11

0 10

1 10

1 11

1 01

1

00

所以，在实现的时候，我们完全可以利用递归，在每一层前面加上0或者1，然后就可以列出所有的格雷码。

比如：

第一步：产生 0, 1 两个字符串。

第二步：在第一步的基础上，每一个字符串都加上0和1，但是每次只能加一个，所以得做两次。这样就变成了 00,01,11,10 （注意对称）。

第三步：在第二步的基础上，再给每个字符串都加上0和1，同样，每次只能加一个，这样就变成了 000,001,011,010,110,111,101,100。

好了，这样就把3位元格雷码生成好了。

如果要生成4位元格雷码，我们只需要在3位元格雷码上再加一层0,1就可以了： 0000,0001,0011,0010,0110,0111,0101,0100,1100,1101,1110,1010,0111,1001,1000.

也就是说， n位元格雷码是基于n-1位元格雷码产生的。

以下是在自己的PC上根据腾讯的要求写的代码：

（以下代码并不能通过leetcode，因为其返回值不满足其输出要求）

/*


在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同， 则称这种编码为格雷码(Gray Code)，请编写一个函数，使用递归的方法生成N位的格雷码。

给定一个整数n，请返回n位的格雷码，顺序为从0开始。
测试样例：

1

返回：["0","1"]
http://www.tuicool.com/articles/QrYFb2J
*/
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<vector>
using namespace std;
vector<string> graycode(int N);
int main()
{
    vector<string> res;
    int n;
    scanf("%d",&n);
    if(n<=0)
        return 0;
    long long Num=1<<n;
    res=graycode(n);
    for(int i=0;i<res.size();i++)
        cout<<res[i]<<endl; 
    return 0;
    
} 
vector<string> graycode(int N)
{
    long long num=1<<N;
    vector<string> current(num,"");
    if(N==1)
    {
        current[0]='0';
        current[1]="1";
        return current;
    }
    vector<string> befor=graycode(N-1);
    for(int i=0;i<befor.size();i++)
    {
        current[i]="0"+befor[i];
        current[num-1-i]="1"+befor[i];
    }
    return current;
} 

 以下代码能通过leetcode的验证：

class Solution {
public:
    vector<int> grayCode(int n) {
        if(n<=0)
            return vector<int>(1,0);
        long long Num=1<<n;
        vector<int> res(Num,0);
        res=getGraycode(n);
        return res;
    }
     vector<int> getGraycode(int N)
     {
        long long num=1<<N;
        vector<int> current(num,0);
        if(N==1)
        {
            current[0]=0;
            current[1]=1;
            return current;
        }
        vector<int> befor=getGraycode(N-1);
        for(int i=0;i<befor.size();i++)
        {
            int c=1<<N-1;
            current[i]=befor[i];
            current[num-1-i]=c+befor[i];
        }
        return current;
     }
};