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  • 描述子距离种类 Hanson

    1.hausdorff距离

     
      微分动力系统原理 这本书里有介绍
     
      Hausdorff距离是描述两组点集之间相似程度的一种量度,它是两个点集之间距离的一种定义形式:假设有两组集合A={a1,…,ap},B={b1,…,bq},则这两个点集合之间的Hausdorff距离定义为H(A,B)=max(h(A,B),h(B,A)) (1)
     
      其中,
     
      h(A,B)=max(a∈A)min(b∈B)‖a-b‖ (2)
     
      h(B,A)=max(b∈B)min(a∈A)‖b-a‖ (3)
     
      ‖·‖是点集A和B点集间的距离范式(如:L2或Euclidean距离).
     
      这里,式(1)称为双向Hausdorff距离,是Hausdorff距离的最基本形式;式(2)中的h(A,B)和h(B,A)分别称为从A集合到B集合和从B集合到A集合的单向Hausdorff距离.即h(A,B)实际上首先对点集A中的每个点ai到距离此点ai最近的B集合中点bj之间的距离‖ai-bj‖进行排序,然后取该距离中的最大值作为h(A,B)的值.h(B,A)同理可得.
     
      由式(1)知,双向Hausdorff距离H(A,B)是单向距离h(A,B)和h(B,A)两者中的较大者,它度量了两个点集间的最大不匹配程度
     
    2.欧式距离
     
      欧几里得距离定义: 欧几里得距离( Euclidean distance)也称欧式距离,它是一个通常采用的距离定义,它是在m维空间中两个点之间的真实距离。
     
      在二维和三维空间中的欧式距离的就是两点之间的距离,二维的公式是
     
      d = sqrt((x1-x2)^+(y1-y2)^)
     
      三维的公式是
     
      d=sqrt((x1-x2)^+(y1-y2)^+(z1-z2)^)
     
      推广到n维空间,欧式距离的公式是
     
      d=sqrt( ∑(xi1-xi2)^ ) 这里i=1,2..n
     
      xi1表示第一个点的第i维坐标,xi2表示第二个点的第i维坐标
     
      n维欧氏空间是一个点集,它的每个点可以表示为(x(1),x(2),...x(n)),其中x(i)(i=1,2...n)是实数,称为x的第i个坐标,两个点x和y=(y(1),y(2)...y(n))之间的距离d(x,y)定义为上面的公式.
     
      欧氏距离看作信号的相似程度。 距离越近就越相似,就越容易相互干扰,误码率就越高。
     
      所谓欧氏距离变换,是指对于一张二值图像(再次我们假定白色为前景色,黑色为背景色),将前景中的像素的值转化为该点到达最近的背景点的距离。
     
      欧氏距离变换在数字图像处理中的应用范围很广泛,尤其对于图像的骨架提取,是一个很好的参照。
     
      所谓欧氏距离变换,是指对于一张二值图像(再次我们假定白色为前景色,黑色为背景色),将前景中的像素的值转化为该点到达最近的背景点的距离。
     
      欧氏距离变换在数字图像处理中的应用范围很广泛,尤其对于图像的骨架提取,是一个很好的参照。
     
      ========
     
      欧氏距离:(∑(Xi-Yi)2)1/2,即两项间的差是每个变量值差的平方和再平方根,目的是计算其间的整体距离即不相似性。
     
      我们熟悉的 欧氏距离虽然很有用,但也有明显的缺点。它将样品的不同属性(即各指标或各变量)之间的差别等同看待,这一点有时不能满足实际要求。例如,在教育研究中, 经常遇到对人的分析和判别,个体的不同属性对于区分个体有着不同的重要性。因此,有时需要采用不同的距离函数。
     
    3.马氏距离:

    马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯(P. C. Mahalanobis)提出的,表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧式距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系(例如:一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息,因为两者是有关联的)并且是尺度无关的(scale-invariant),即独立于测量尺度。对于一个均值μ,为协方差矩阵为Σ的多变量向量,其马氏距离为((x-μ)'Σ^(-1)(x-μ))^(1/2)。

    马氏距离也可以定义为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:

      如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧式距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离'.

      其中σi 是 xi 的标准差.

    马氏优缺点:

      1)马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的,这一点可以从上述协方差矩阵的解释中可以得出,也就是说,如果拿同样的两个样本,放入两个不同的总体中,最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的,除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同;

      2)在计算马氏距离过程中,要求总体样本数大于样本的维数,否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在,这种情况下,用欧式距离计算即可。

      3)还有一种情况,满足了条件总体样本数大于样本的维数,但是协方差矩阵的逆矩阵仍然不存在,比如三个样本点(3,4),(5,6)和(7,8),这种情况是因为这三个样本在其所处的二维空间平面内共线。这种情况下,也采用欧式距离计算。

      4)在实际应用中“总体样本数大于样本的维数”这个条件是很容易满足的,而所有样本点出现3)中所描述的情况是很少出现的,所以在绝大多数情况下,马氏距离是可以顺利计算的,但是马氏距离的计算是不稳定的,不稳定的来源是协方差矩阵,这也是马氏距离与欧式距离的最大差异之处。

      优点:它不受量纲的影响,两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关;由标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差)计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。缺点:它的缺点是夸大了变化微小的变量的作用。

      如果用dij表示第i个样品和第j个样品之间的距离,那么对一切i,j和k,dij应该满足如下四个条件:

      ①当且仅当i=j时,dij=0

      ②dij>0

      ③dij=dji(对称性)

      ④dij≤dik+dkj(三角不等式)

      显然,欧氏距离满足以上四个条件。满足以上条件的函数有多种,本节将要用到的马氏距离也是其中的一种。

      第i个样品与第j个样品的马氏距离dij用下式计算:

      dij =((x i 一x j)TS-1(x i一xj) )1/2(T、-1、1/2都是上标)

      其中,T表示转置,x i 和x j分别为第i个和第j个样品的m个指标所组成的向量,S为样本协方差矩阵。

     




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