[usaco2007 Nov]relays 奶牛接力跑 题解 重载矩阵乘法

题目描述

FJ的N(2 <= N <= 1,000,000)头奶牛选择了接力跑作为她们的日常锻炼项目。至于进行接力跑的地点 自然是在牧场中现有的T(2 <= T <= 100)条跑道上。 农场上的跑道有一些交汇点，每条跑道都连结了两个不同的交汇点 I1_i和I2_i(1 <= I1_i <= 1,000; 1 <= I2_i <= 1,000)。每个交汇点都是至少两条跑道的端点。 奶牛们知道每条跑道的长度length_i(1 <= length_i <= 1,000)，以及每条跑道连结的交汇点的编号 并且，没有哪两个交汇点由两条不同的跑道直接相连。你可以认为这些交汇点和跑道构成了一张图。 为了完成一场接力跑，所有N头奶牛在跑步开始之前都要站在某个交汇点上（有些交汇点上可能站着不只1头奶牛）。当然，她们的站位要保证她们能够将接力棒顺次传递，并且最后持棒的奶牛要停在预设的终点。 你的任务是，写一个程序，计算在接力跑的起点(S)和终点(E)确定的情况下，奶牛们跑步路径可能的最小总长度。显然，这条路径必须恰好经过N条跑道。

输入格式

第1行: 4个用空格隔开的整数：N，T，S，以及E
第2..T+1行: 第i+1为3个以空格隔开的整数：length_i，I1_i，以及I2_i， 描述了第i条跑道。

输出格式

第1行: 输出1个正整数，表示起点为S、终点为E，并且恰好经过N条跑道的路 径的最小长度

样例

样例输入

2 6 6 4
11 4 6
4 4 8
8 4 9
6 6 8
2 6 9
3 8 9

样例输出

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　　思路：首先这个题的想法要和SCOI2009迷路的题类似，我并不倾向于把这题叫做倍增floyd，我认为这题从矩阵的角度更好理解，而且更能证明正确性，显然从迷路的思路我们得到这么几个条件，一个是矩阵存的路径数，一个是走几步。那么类比一下，我们当时要求k次的路径数，这时我们要求k条边的最短路，那么很容易我们想到了，矩阵里面存边权，代表i到j走一条边的最短路，那么我们可以yy一下，这个矩阵的k次幂就是i到j走k条边的最短路，那么显然之前矩阵的乘法是不能计算的，于是我们就想到了把矩阵乘法重载一下，变为c[i][j]=min(a[i][k]+a[k][j])，这也就是网上许多倍增floyd的由来，但是接下来要问了，floyd可以倍增么？换个问题就是这样做对吗？那么我们要从这种思路来看，我们没有证明我们重载过的矩阵运算满足交换律，即(a@a)@a==a@(a@a);那么这应该是这个算法的正确性，我们考虑实际含义，走2步再走1步，和走1步再走2步，最短路一定相同。当然并没有说倍增floyd错了，代码打出来都一样，以上均为个人见解。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=105,ID=1000,inf=0x7fffffff;
int p[ID],m[N][N],l[N],n,k,s,e,cnt;
struct mat
{
    long long a[105][105],n;
    mat (int n,int x) :n(n)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
            a[i][j]=x;
    }
    mat operator *(mat &b)
    {
        mat c(n,inf);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                for(int k=1;k<=n;k++)
                c.a[i][j]=min(c.a[i][j],a[i][k]+b.a[k][j]);
        return c;
    }
    void print()
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            if(a[i][j]==inf) printf("# ");
            else cout<<a[i][j]<<" ";
            cout<<endl;
        }
    }
};
int rd()
{
    char cc=getchar();
    int s=0,w=1;
    while(cc<'0'||cc>'9') {if(cc=='-') w=-1;cc=getchar();}
    while(cc>='0'&&cc<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+cc-'0',cc=getchar();
    return s*w;
}
mat qpow(mat a,int k)
{
    mat ans=a;
    for(;k;k>>=1,a=a*a)if(k&1) ans=ans*a;
    return ans;
}
int main()
{
    k=rd(),n=rd(),s=rd(),e=rd();
    for(int i=1,z,x,y;i<=n;i++)
    {
        z=rd(),x=rd(),y=rd();
        if(!p[x]) p[x]=++cnt;
        if(!p[y]) p[y]=++cnt;
        //printf("%d %d
",p[x],p[y]);
        m[p[x]][p[y]]=z;
        m[p[y]][p[x]]=z;
    }
    mat a(cnt,0);
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
            a.a[i][j]=m[i][j]?m[i][j]:inf;
    //a.print();
    mat c=qpow(a,k-1);
    //c.print();
    printf("%lld
",c.a[p[s]][p[e]]);
}
/*
g++ 1.cpp -o 1
./1
2 6 6 4
11 4 6
4 4 8
8 4 9
6 6 8
2 6 9
3 8 9
*/