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  • 布尔矩阵

    布尔矩阵及其运算

    概念:

    布尔矩阵(boolean matrix)或叫位矩阵(bit matrix)是元素为0或1的矩阵;

    运算:

    1,补(compiement)

    设A=[aij]是一个m×n的布尔矩阵,就是把原矩阵中的0变为1,1变为0;

    2,并(join)

    设A=[aij],B=[bij],是两个m×n的矩阵则为AνB=C=[cij],其中

    cij= 1 若aij=1或bij=1;

    cij= 0 若aij=0且bij=0;

    直观地:将A,B中的0去掉,重叠两个矩阵之后,补上0即可

    3,交(meet)

    设A=[aij],B=[bij],是两个m×n的矩阵则为AΛB=D=[dij],其中

    dij= 1 若aij=1且bij=1;

    dij= 0 若aij=0或bij=0;

    直观地:将A,B中的1去掉,重叠两个矩阵之后,补上1即可

    4,布尔积(boolean product)

    设A=[aij],B=[bij],是两个m×n的布尔矩阵,则定义A和B的布尔积为A×B=C=[cij];

    cij= 1 若存在k(1≤k≤n)使得aik=1且bkj=1;

    cij= 0 否则;

    布尔矩阵的积cij对应的A里的i行和B里的j行对应元素进行操作,之后多所有的操作一下;

    差异:

    1,普通矩阵乘法

    AXB=C=[cij]

       cij=∑k(aik×bkj

    2,布尔矩阵

    A×B=C=[cij]

       cijk(aikΛbkj

     

    5,一些规律

    假设布尔矩阵A,B,C具有兼容大小,则

    a)交换律

              AVB=BVA, AΛB=BΛA

    b)结合律

    (AVB)VC=AV(BVC)

    (AΛB)ΛC=AΛ(BΛC)

    (AXB)XC=AX(BXC)

    c)分配律

    AΛ(BVC)=(AΛB)V(AΛC)

    AV(BΛC)=(AVB)Λ(AVC)

    d) 转置

               (AVB)T=ATVBT 

    (AΛB)T=ATΛBT

       (ATXBT)=BTXAT

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