机器人学——1.6-双向量表示法

对于关节臂式机器人，一般会在它的末端执行器上固联一个坐标系 ${E}$，如图所示。通常情况下，工具的轴线为坐标系的 $z$ 轴，并被称为接近向量，记为 $hat{a}=(a_x, a_y, a_z)$。对于某
些应用来说，定义接近向量比定义欧拉角或横滚-俯仰-偏航角更为方便。

然而定义出 $z$ 轴的方向还不足以表示完整坐标我们还需要确定 $x$ 轴和 $y$ 轴的方向。为了确定末端执行器的姿态，我们定义一个与接近向量正交的向量,它位于机器人手爪的两个手指之间，被称为姿态向量，记为 $hat{o}=(o_x, o_y, o_z)$。有了接近和姿态这两个单位向量，就足以完全确定旋转矩阵了：
$R=left(egin{array}{ccc}n_x&o_x&a_x\n_y&o_y&a_y\n_z&o_z&a_zend{array} ight)$
因为剩下的一列可以根据正交系的概念计算，即 $hat{n} =hat{o} imes hat{a}$。
即使两个向量 $hat{a}$ 和 $hat{o}$ 不是正交的，它们仍然能定义一个平面，而且计算出来的 $n$ 仍垂直于这个平面。在这种情况下，我们需要用 $hat{o}'=hat{a} imeshat{n}$ 来计算一个新的向量值，它仍然在 $hat{a}$ 和 $hat{o}$ 定义的平面中，只不过与 $hat{a}$ 和 $hat{n}$ 都正交。

使用工具箱函数，可以执行以下计算:

>> a = [1; 0; 0];
>> o = [0; 1; 0]; 
>> oa2r(o, a)
ans =
     0     0     1
     0     1     0
    -1     0     0

任何两个非平行的向量都足以定义一个坐标系。对于一个摄像头，通常我们取光轴为 $z$ 轴，摄像头的左侧为 $x$ 轴。对于移动机器人，通常我们规定重力加速度方向（用加速度计测量）为 $z$ 轴方向，前进方向（用电子罗盘测量）为 $x$ 轴方向。