三角不等式的解法

前言

廓清认知：由于三角不等式属于超越不等式，故已经不能和解(x^2+3x+2>0)这样的代数不等式的解法同日而语，此时必须借助图像来解决；能借助的图像有三角函数的图像，还可以借助三角函数线来解决，以下用例题加以说明。

必备技能

• 函数图像的解读能力

• 作三角函数(y=sinx)和(y=cosx)的图像、作正弦线、余弦线的能力

• 用不等式表达单位圆中区域的能力

• 用韦恩图求交集的能力

• 转化划归能力

模型应用

例1解三角不等式： (2sinx>1).

法1：三角函数图像法，将不等式变形为(sinx>cfrac{1}{2})，在同一个坐标系中做出函数(y=sinx)和(y=cfrac{1}{2})，

由于函数(y=sinx)有周期性，故需要不需要画出其完整的图像，只需要做出一个周期上的图像就可以了，

如右图所示，我们选取的周期是([0，2pi])，从图上可以看出，

当(sinx>cfrac{1}{2})时，在一个周期内的不等式的解是(cfrac{pi}{6}< x <cfrac{5pi}{6})，

而题目中(xin R)，故我们还需要做出拓展，那么怎么拓展呢？

函数(y=cfrac{1}{2})，自然是向左右两端无限延伸的，

函数(y=sinx)也是向左右两端按照周期(T=2pi)的整数倍无限延伸的，

故满足题意的不等式的解集绝不仅仅是上述解出的解集，

应该还有，就是把上述的解集也向左右两端按照周期的整数倍延伸，

即(k cdot 2pi+cfrac{pi}{6}< x < k cdot 2pi+cfrac{5pi}{6}(kin Z))，

故所求的不等式的所有解集应该是({xmid 2kpi+cfrac{pi}{6}< x <2kpi+cfrac{5pi}{6}，kin Z})；

或者((2kpi+cfrac{pi}{6}，2kpi+cfrac{5pi}{6})(kin Z)) (hspace{4em})错误写法：^[1]

法1的反思提升：

• 1、周期函数的周期一定要选([0，2pi])吗？

那倒不一定，原则上只要区间的长度为(2pi)都可以，比如本题还可以选周期为([-pi，pi])，这样我们可以看到在一个周期内的不等式的解集是连续的，便于我们的表达刻画。

• 2、如果解(sinx<cfrac{1}{2})，周期怎么选？
  

此时如果还选([0，2pi])，那就不好，由上图我们可以看出，

此时一个周期内的解集有([0，cfrac{pi}{6}))，还有((cfrac{5pi}{6}，2pi])，两个解集就没有连续在一起，后续拓展表达很不方便；

那么我们怎么解决这一问题呢？只要选周期为([cfrac{pi}{2}，cfrac{5pi}{2}])就可以，

此时一个周期内的解集就可以表达为(cfrac{5pi}{6}< x<cfrac{13pi}{6})，

再拓展得到(R)上的解集为(2kpi+cfrac{5pi}{6} < x<2(k+1)pi+cfrac{pi}{6}(kin Z))，

• 3、如何解不等式(sin(2x+cfrac{pi}{4})>cfrac{1}{2})？
  

此时，将整体(2x+cfrac{pi}{4})看成上述解法中的(x)(整体思想)，

先得到(sinx>cfrac{1}{2})的解集为(2kpi+cfrac{pi}{6}< x <2kpi+cfrac{5pi}{6}(kin Z))；

然后回归，得到(2kpi+cfrac{pi}{6}< 2x+cfrac{pi}{4} <2kpi+cfrac{5pi}{6}(kin Z))；

解上述的双连不等式就得到不等式(sin(2x+cfrac{pi}{4})>cfrac{1}{2})的解集。

请自行解决。

• 4、如何解不等式：(cfrac{1}{2}cdot sinx+cfrac{sqrt{3}}{2}cosx>cfrac{1}{2}).
  

先将其转化划归为(sin(x+cfrac{pi}{3})>cfrac{1}{2})，然后仿照上例解决即可。

• 5、如何解不等式(2cosxgeqslant 1)；

其一可以借助函数(y=cosx)的图像求解即可。其二，可以借助单位圆和三角函数线法；此时需要注意，解集的区间表示有难点。

如图所示，满足题意的角的终边应该落在劣弧(AB)所对的扇形区域内，由于此时(x)轴的正半轴包含在其中，故表示时射线(OB)应该用(2kpi-cfrac{pi}{3})刻画，射线(OA)应该用(2kpi+cfrac{pi}{3})刻画，

即解集应该为([2kpi-cfrac{pi}{3},2kpi+cfrac{pi}{3}])((kin Z))，

【易错】①好多学生在此容易错误的认为，射线(OB)应该用(2kpi+cfrac{5pi}{3})刻画，此时是错误的，原因是若解集为([2kpi+cfrac{5pi}{3},2kpi+cfrac{pi}{3}])((kin Z))，明显区间特点为左大右小，故错误；

②还有学生会纠结，为什么表示角的终边在(y)轴负半轴时，可以用(2kpi+cfrac{3pi}{2})((kin Z))，也可以用(2kpi-cfrac{pi}{2})((kin Z))，为什么上题中这样使用就是错误的？原因是上题表示的结果是一个区域，边界线射线(OB)不是孤立存在的，与别人有大小关系，故不能随性所欲的表示；

③如何选取区域，做一条角的终边落在某个区域内，然后验证即可。角的终边定区域[线性规划中，特殊点定区域]

[例1的法2]：三角函数线法，做出如右图所示的单位圆，在(y)轴的正半轴找到(cfrac{1}{2})，

过此点做(x)轴的平行线与单位圆交于点(P)和点(Q)，

则(sinx=cfrac{1}{2})时的正弦线是(MP)和(NQ)，那么(sinx>cfrac{1}{2})时的角的终边应该落在劣弧(OPQ)内部，

故在一个周期内的不等式的解是(cfrac{pi}{6}< x <cfrac{5pi}{6})，

拓展后得到(R)上的解集为({xmid k cdot 2pi+cfrac{pi}{6}< x < k cdot 2pi+cfrac{5pi}{6}(kin Z)})；

当然，如果是解不等式(sinx<cfrac{1}{2}) ，则角的终边应该落在优弧(OPQ)内，

在一个周期内的不等式的解是(-cfrac{7pi}{6}< x <cfrac{pi}{6})，

拓展后得到(R)上的解集为({x mid k cdot 2pi-cfrac{7pi}{6}< x < k cdot 2pi+cfrac{pi}{6}(kin Z)})；

化为模型

例2解不等式：(2cos(2x+cfrac{pi}{3})<1)

提示：先想这样的不等式怎么解？(2cosx<1)；

然后再思考(2cos(2x+cfrac{pi}{3})<1)怎么解即可。

例3【可转化为例2】
解不等式：(cfrac{1}{2}cdot sinx+cfrac{sqrt{3}}{2}cosx<cfrac{1}{2}).

看看例1中的提示就够了。

综合应用

例4求函数(y=lg sinx+sqrt{cos2x+frac{1}{2}})的定义域。

【解析】三角不等式常用两种解法，利用三角函数线或者三角函数图像，详解如下：

【1、单位圆+三角函数线】

如图所示，由正弦线可知，(sinx>0)得到：(xin(2kpi，2kpi+pi)(kin Z))

由余弦线可知，(cos2xge-cfrac{1}{2})

得到：(2xin[2kpi-cfrac{2pi}{3}，2kpi+cfrac{2pi}{3}](kin Z))，

所以(xin[kpi-cfrac{pi}{3}，kpi+cfrac{pi}{3}]\=[2kpi-cfrac{pi}{3}，2kpi+cfrac{pi}{3}]igcup[2kpi+cfrac{2pi}{3}，2kpi+cfrac{4pi}{3}](kin Z))，

求其交集得到(xin(2kpi，2kpi+cfrac{pi}{3}]igcup[2kpi+cfrac{2pi}{3}，2kpi+pi)(kin Z))

【2、三角函数法】转化为解三角函数不等式组(egin{cases} sinx> 0 \ cos2x+frac{1}{2}ge 0end{cases})，

解不等式(sinx>0)

得到：(xin(2kpi，2kpi+pi)(kin Z))

解不等式(cos2xge-cfrac{1}{2})

得到：(2xin[2kpi-cfrac{2pi}{3}，2kpi+cfrac{2pi}{3}](kin Z))，


所以(xin[kpi-cfrac{pi}{3}，kpi+cfrac{pi}{3}](kin Z))，

求其交集得到(xin(2kpi，2kpi+cfrac{pi}{3}]igcup[2kpi+cfrac{2pi}{3}，2kpi+pi)(kin Z))

例5【求三角不等式和其他不等式的交集】

求函数(f(x)=sqrt{5-|x|}+log_a(sinx-cfrac{1}{2}))的定义域。

分析：由题目可知，(|x|leq 5①)，且(sinx>cfrac{1}{2}②)

解①得到(-5leq xleq 5)；解②得到(2kpi+cfrac{pi}{6}<x<2kpi+cfrac{5pi}{6}(kin Z))，

二者求交集，如右图所示，

得到定义域为([-5，-cfrac{7pi}{6})cup (cfrac{pi}{6}，cfrac{5pi}{6}))。

正切不等式

求直线的倾斜角取值范围，本质是解正切型三角不等式。直线的倾斜角的范围( hetain [0，pi))；

例4直线(2xcosalpha-y-3=0(alphain [cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{3}]))的倾斜角的变化范围是【】

$A.[cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{3}]$ $B.[cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{3}]$ $C.[cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{2})$ $D.[cfrac{pi}{4}，cfrac{2pi}{3}]$

分析：设直线的倾斜角为( heta)，则(k=tan heta=2cosalpha)，由于(alphain [cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{3}])，则(2cosalphain [1，sqrt{3}])，

即(k=tan hetain [1，sqrt{3}])，故( hetain [cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{3}])，故选(B).

例5直线(xsinalpha-y+1=0)的倾斜角的变化范围是【】

$A.(0，cfrac{pi}{2})$ $B.(0，pi)$ $C.[-cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{4}]$ $D.[0，cfrac{pi}{4}]cup[cfrac{3pi}{4}，pi)$

分析：设直线的倾斜角为( heta)，则(k=tan heta=sinalphain [-1，1])，又由于( hetain [0，pi))，

则( hetain [0，cfrac{pi}{4}]cup[cfrac{3pi}{4}，pi))，故选(D).

例6【2014黄冈模拟】直线(l)经过(A(2，1))、(B(1，m^2)(min R))两点，那么直线(l)的倾斜角的取值范围为【】

$A.[0，pi)$ $B.[0，cfrac{pi}{4}]cup[cfrac{3pi}{4}，pi)$ $C.[0，cfrac{pi}{4}]$ $D.[0，cfrac{pi}{4}]cup(cfrac{pi}{2}，pi)$

分析：由点(A(2，1))、(B(1，m^2))得到，(k=tan heta=cfrac{m^2-1}{1-2}=1-m^2leqslant 1)，故( hetain [0，cfrac{pi}{4}]cup(cfrac{pi}{2}，pi))，故选(D).

相关链接

• 三角方程的解法

例1解三角方程： (2sinA=1，A)为三角形的一个内角。

提示：(A=cfrac{pi}{6})或(A=cfrac{5pi}{6})

例2解三角方程： (2sinA=1).

提示：(A=2kpi+cfrac{pi}{6})或(A=2kpi+cfrac{5pi}{6}(kin Z))。

例3解三角方程： (2sin(3A+cfrac{pi}{4})=1).

提示：(3A+cfrac{pi}{4}=2kpi+cfrac{pi}{6})或(3A+cfrac{pi}{4}=2kpi+cfrac{5pi}{6}(kin Z))，求解(A)即可。

例4【2016(cdot)上海卷】【解三角方程】

方程(3sinx=1+cos2x)在区间([0，2pi])上的解为_______________。

分析：采用升幂降角公式，得到(3sinx=1+1-2sin^2x)，

整理为(2sin^2x+3sinx-2=0)，即((sinx+2)(2sinx-1)=0)

解得(sinx=-2(舍去))或(sinx=cfrac{1}{2})，

再由(sinx=cfrac{1}{2})，(xin[0，2pi])，

采用图像可得，(x=cfrac{pi}{6})或(x=cfrac{5pi}{6})。

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1. 上述解集的常见错误写法：
   ({xmid xin (2kpi+cfrac{pi}{6}，2kpi+cfrac{5pi}{6}) kin Z})，不符合描述法的格式；
   ({xmid 2kpi+cfrac{pi}{6}< x <2kpi+cfrac{5pi}{6}})，漏写(kin Z)；
   (xin (2kpi+cfrac{pi}{6}，2kpi+cfrac{5pi}{6}))，漏写(kin Z)；
   ((2kpi+cfrac{pi}{6}，2kpi+cfrac{5pi}{6}))，漏写(kin Z)； ↩︎