欧几里得 与 扩展欧几里得

欧几里得算法

又称辗转相除法，用来计算两个数的最大公约数

int gcd(int a, int b){
    if(b==0)
        return a;
    else
        return gcd(b,a%b);
}

gcd函数的基本性质

gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

扩展欧几里得

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得ax+by = Gcd(a, b) =d

对于不完全为0的非负整数，a，b，必然存在无数对整数对x，y，使得ax+by=gcd(a，b)

int exgcd(int a, int b)//拓展欧几里德
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a%b);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a/b*y;
    return d;
}

证明：

设a*x + b*y= gcd(a,b)   下一个状态 b*x1 + (a%b)*y1 = gcd(b,a%b)

a%b = a - (a/b)*b

gcd(b,a%b) = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

                  = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

                  = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

根据朴素欧几里得算法得：

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 所以得a*y1 + b*(x1 – a/b*y1) =a*x+b*y

x = y1

y = x1 – a/b*y1

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a, b, x, y;
int gcd(int m, int n)//欧几里德
{
    int t;
    while(n)
    {
        t = n;
        n = m % n;
        m = t;
    }
    return m;
}

//int gcd(int a, int b){
//    if(b==0)
//        return a;
//    else
//        return gcd(b,a%b);
//}

int exgcd(int a, int b)//拓展欧几里德
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a%b);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a/b*y;
    return d;
}

int main()
{
    int a, b;
    while(~scanf("%d%d",&a, &b))
    {
        printf("%d
",gcd(a, b));
        int g = exgcd(a, b);
        if(g == 1)//ax + by = 1
        {
            while(x < 0)
            {
                x += b;
                y -= a;
            }
            printf("%d %d
",x,y);//x>0最小整数解
        }
        else
            printf("sorry
");
    }
    return 0;
}

扩展欧几里得最大的应用就是求乘法逆元 (a*m)%b=1 称m为

ma+nb=1 m为a模b的乘法逆元 n为b模a的逆元

例：http://www.cnblogs.com/wudi-accept/p/5350233.html