题目描述
小渊和小轩是好朋友也是同班同学,他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中,班上同学安排做成一个mmm行nnn列的矩阵,而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端,因此,他们就无法直接交谈了。幸运的是,他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里,小渊坐在矩阵的左上角,坐标(1,1(1,1(1,1),小轩坐在矩阵的右下角,坐标(m,n)(m,n)(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递,从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中,小渊希望给小轩传递一张纸条,同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递,但只会帮他们一次,也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙,那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意,全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低(注意:小渊和小轩的好心程度没有定义,输入时用000表示),可以用一个0−1000-1000−100的自然数来表示,数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条,即找到来回两条传递路径,使得这222条路径上同学的好心程度之和最大。现在,请你帮助小渊和小轩找到这样的222条路径。
输入输出格式
输入格式:
输入文件,第一行有222个用空格隔开的整数mmm和nnn,表示班里有mmm行nnn列。
接下来的mmm行是一个m×nm imes nm×n的矩阵,矩阵中第iii行jjj列的整数表示坐在第iii行jjj列的学生的好心程度。每行的nnn个整数之间用空格隔开。输出格式:
输出文件共一行,包含一个整数,表示来回222条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
输入输出样例
输入样例#1:复制
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
输出样例#1:复制
34
说明
【限制】
30%的数据满足:1≤m,n≤101 le m,n le 101≤m,n≤10
100%的数据满足:1≤m,n≤501 le m,n le 501≤m,n≤50
题解: 这是一个典型的动态规划的题目,你每一个位置所取的最大值都来源于你前几步所取得的值,通过规律找出相应的动态方程,进行求解
第一步是先将题目所说模型化简
例:先随意画一个n行m列的方格
即纸条是从(i,j)点传到(k,l)点
(要注意一个点我们的纸条并不是传到(k,l)点就停止了,传出还要传回)
假设是处于(x,y )
那么你这一步的值是取决于(x-1,y)或者取决于(x , y-1 )
为了减少复杂度以及内存所以我们运用四维数组进行计算,
即 fmax{ dp[i][j][k][l] } = max{ dp[i-1][j][k-1][l] ,dp[i-1][j][k][l-1],dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]} + vis[i][j] +vis[k][l];
可能你会疑问为什么i与j在变化的同时k或l也需要减1呢?
是因为从(i , j)到 (k ,l)点的步数实际上是与(k,l)到(i,j)的步数是相同的所以同步进行的 即 i + j == k + l
为什么要加上 + vis[i][j] +vis[k][l]; 这个呢,这个实际上就是你传纸条人的友好度,为什么可以直接加上呢?
因为dp【i】【j】【k】【l】左边这个东西告诉我们,我们已经走到这个位置了,所以就求这个位置的东西(i , j ) ( k , l )
为什么l的循环从j+1开始呢? 因为两条路径经过同一个点的价值只能算一次,所以如果当前i==j(相当于两个人的位置重合了)
四维数组的解答如下:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[56][56][56][56];
int vis[60][60];
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= m; j++) {
cin >> vis[i][j];
}
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
for(int j = 1; j <= m; ++j) {
for(int k = 1; k <= n; ++k) {
for(int l = j+1; l <= m; ++l) {
dp[i][j][k][l] = max( max( dp[i-1][j][k-1][l], dp[i-1][j][k][l-1]), max( dp[i][j-1][k-1][l], dp[i][j-1][k][l-1])) + vis[i][j] + vis[k][l];
}
}
}
}
cout << dp[n][m-1][n-1][m] << endl;
}
三维数组优化
题解:上面有提到过去和回所走的步数是相同的,所以可以得到i+j==k+l这一个的等式,那么我们不妨通过枚举减少for循环和数组的大小,毕竟如果卡了数据就会造成wa
动态方程:
_是自己定义的四个数字取最大值的函数
dp[k][i][j] = _( dp[k-1][i][j], dp[k-1][i-1][j-1], dp[k-1][i][j-1],dp[k-1][i-1][j]) + a[i][k-i+1] + a[j][k-j+1];
枚举每个横坐标进行计算
for(int k = 1; k <= n+m-1; ++k)
当i==j时说明路径出现了重复所以减去一个就可以
if(i==j){
dp[k][i][j] -=a[i][k-i+1];
}
if (k-i+1<1||k-j+1<1)
当路径超过真实经过的范围时需要跳过本次循环
continue;
代码:
//三维数组优化p1006
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 65
int a[N][N];
int dp[N*2][N][N];
int _(int a, int b, int c, int d)
{
return max( max(a,b), max(c,d));
}
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= m; ++j)
cin >> a[i][j];
for(int k = 1; k <= n+m-1; ++k)
{
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = 1; j <= n; ++j)
{
if (k-i+1<1||k-j+1<1)
continue;
dp[k][i][j] = _( dp[k-1][i][j], dp[k-1][i-1][j-1], dp[k-1][i][j-1],dp[k-1][i-1][j]) + a[i][k-i+1] + a[j][k-j+1];
if(i==j){
dp[k][i][j] -=a[i][k-i+1];
}
}
}
}
cout << dp[n+m-1][n][n] << endl;
}
滚动数组优化:(来日补齐)