P1006 传纸条(动态规划dp）

Table of Contents

• 题目描述
• 输入输出格式
• 输入输出样例
• 说明

传送门

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个mmm行nnn列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1(1,1(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)(m,n)(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用000表示），可以用一个0−1000-1000−100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这222条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的222条路径。

输入输出格式

输入格式：

输入文件，第一行有222个用空格隔开的整数mmm和nnn，表示班里有mmm行nnn列。

接下来的mmm行是一个m×nm imes nm×n的矩阵，矩阵中第iii行jjj列的整数表示坐在第iii行jjj列的学生的好心程度。每行的nnn个整数之间用空格隔开。输出格式：

输出文件共一行，包含一个整数，表示来回222条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例

输入样例#1：复制

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出样例#1：复制

34

说明

【限制】

30%的数据满足：1≤m,n≤101 le m,n le 101≤m,n≤10

100%的数据满足：1≤m,n≤501 le m,n le 501≤m,n≤50

题解： 这是一个典型的动态规划的题目，你每一个位置所取的最大值都来源于你前几步所取得的值，通过规律找出相应的动态方程，进行求解

第一步是先将题目所说模型化简

例：先随意画一个n行m列的方格

即纸条是从（i，j）点传到（k，l）点

（要注意一个点我们的纸条并不是传到（k，l）点就停止了，传出还要传回）

假设是处于（x，y )

那么你这一步的值是取决于（x-1,y)或者取决于（x , y-1 )

为了减少复杂度以及内存所以我们运用四维数组进行计算，

即 fmax{ dp[i][j][k][l] } = max{ dp[i-1][j][k-1][l] ,dp[i-1][j][k][l-1],dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]} + vis[i][j] +vis[k][l];

可能你会疑问为什么i与j在变化的同时k或l也需要减1呢？

是因为从（i ， j）到 （k ，l）点的步数实际上是与（k，l）到（i，j）的步数是相同的所以同步进行的 即 i + j == k + l

为什么要加上 + vis[i][j] +vis[k][l]; 这个呢，这个实际上就是你传纸条人的友好度，为什么可以直接加上呢？

因为dp【i】【j】【k】【l】左边这个东西告诉我们，我们已经走到这个位置了，所以就求这个位置的东西（i , j ) ( k , l )

为什么l的循环从j+1开始呢？ 因为两条路径经过同一个点的价值只能算一次，所以如果当前i==j（相当于两个人的位置重合了）

四维数组的解答如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[56][56][56][56];
int vis[60][60];
int main() {
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j = 1; j <= m; j++) {
			cin >> vis[i][j];
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		for(int j = 1; j <= m; ++j) {
			for(int k = 1; k <= n; ++k) {
				for(int l = j+1; l <= m; ++l) {
					dp[i][j][k][l] = max( max( dp[i-1][j][k-1][l], dp[i-1][j][k][l-1]), max( dp[i][j-1][k-1][l], dp[i][j-1][k][l-1])) + vis[i][j] + vis[k][l];
				}
			}
		}
	}
	cout << dp[n][m-1][n-1][m] << endl;
}

三维数组优化

题解：上面有提到过去和回所走的步数是相同的，所以可以得到i+j==k+l这一个的等式，那么我们不妨通过枚举减少for循环和数组的大小，毕竟如果卡了数据就会造成wa

动态方程：

dp[k][i][j] = _( dp[k-1][i][j], dp[k-1][i-1][j-1], dp[k-1][i][j-1],dp[k-1][i-1][j]) + a[i][k-i+1] + a[j][k-j+1];

_是自己定义的四个数字取最大值的函数

枚举每个横坐标进行计算

for(int k = 1; k <= n+m-1; ++k)

当i==j时说明路径出现了重复所以减去一个就可以

if(i==j){
dp[k][i][j] -=a[i][k-i+1];
}

if (k-i+1<1||k-j+1<1)
continue;

当路径超过真实经过的范围时需要跳过本次循环

代码：

//三维数组优化p1006
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 65
int a[N][N];
int dp[N*2][N][N];
int _(int a, int b, int c, int d)
{
    return max( max(a,b), max(c,d));
}
int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= m; ++j)
            cin >> a[i][j];
    for(int k = 1; k <= n+m-1; ++k)
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            for(int j = 1; j <= n; ++j)
            {
                if (k-i+1<1||k-j+1<1)
                    continue;
                dp[k][i][j] = _( dp[k-1][i][j], dp[k-1][i-1][j-1], dp[k-1][i][j-1],dp[k-1][i-1][j]) + a[i][k-i+1] + a[j][k-j+1];
                if(i==j){
                   dp[k][i][j] -=a[i][k-i+1];
                }
            }
        }
    }
    cout << dp[n+m-1][n][n] << endl;

}

滚动数组优化：（来日补齐）