这三题均可以用树状数组、分块或线段树来做
#130. 树状数组 1 :单点修改,区间查询
题目链接:https://loj.ac/problem/130
题目描述
这是一道模板题。
给定数列 a[1], a[2], dots, a[n]a[1],a[2],…,a[n],你需要依次进行 qq 个操作,操作有两类:
1 i x
:给定 i,xi,x,将 a[i]a[i] 加上 xx;2 l r
:给定 l,rl,r,求 sum_{i=l}^ra[i]∑i=lra[i] 的值(换言之,求 a[l]+a[l+1]+dots+a[r]a[l]+a[l+1]+⋯+a[r] 的值)
输入格式
第一行包含 22 个正整数 n,qn,q,表示数列长度和询问个数。保证 1le n,qle 10^61≤n,q≤106。
第二行 nn 个整数 a[1], a[2], dots, a[n]a[1],a[2],…,a[n],表示初始数列。保证 |a[i]|le 10^6∣a[i]∣≤106。
接下来 qq 行,每行一个操作,为以下两种之一:
1 i x
:给定 i,xi,x,将 a[i]a[i] 加上 xx;2 l r
:给定 l,rl,r,求 sum_{i=l}^ra[i]∑i=lra[i] 的值。
保证 1le lle rle n,1≤l≤r≤n, |x|le 10^6∣x∣≤106。
输出格式
对于每个 2 l r
操作输出一行,每行有一个整数,表示所求的结果。
样例
样例输入
3 2
1 2 3
1 2 0
2 1 3
样例输出
6
数据范围与提示
对于所有数据,1le n,qle 10^6,1≤n,q≤106, |a[i]|le 10^6∣a[i]∣≤106, 1le lle rle n,1≤l≤r≤n, |x|le 10^6∣x∣≤106。
树状数组解法:
思路:板子
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=1e6; int n,m; ll sum[maxn]; int lowbit(int x){return x&(-x);} void add(int x,ll val){ while(x<=maxn){ sum[x]+=val; x+=lowbit(x); } } ll getsum(int x){ ll res=0; while(x){ res+=sum[x]; x-=lowbit(x); } return res; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); ll c; for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%lld",&c); add(i,c); } while(m--){ int id,x,y; scanf("%d%d%d",&id,&x,&y); if(id==1)add(x,y); else cout<<getsum(y)-getsum(x-1)<<endl; } return 0; }
分块解法:
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; const ll maxn=1e6+10; ll a[maxn],sum[maxn]; int n,q,num,block,l[maxn],r[maxn],belong[maxn]; void build(){ block=sqrt(n); num=n/block; if(n%block)num++; for(int i=1;i<=num;i++) l[i]=(i-1)*block+1,r[i]=i*block; r[num]=n; for(int i=1;i<=n;i++) belong[i]=(i-1)/block+1; for(int i=1;i<=num;i++) for(int j=l[i];j<=r[i];j++) sum[i]+=a[j]; } ll query(int x,int y){ ll res=0; if(belong[x]==belong[y]){ for(int i=x;i<=y;i++) res+=a[i]; return res; } for(int i=x;i<=r[belong[x]];i++) res+=a[i]; for(int i=belong[x]+1;i<belong[y];i++)res+=sum[i]; for(int i=l[belong[y]];i<=y;i++)res+=a[i]; return res; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&q); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]); build(); while(q--){ int id,x,y; scanf("%d%d%d",&id,&x,&y); if(id==1){ a[x]+=y; sum[belong[x]]+=y; } else printf("%lld ",query(x,y)); } return 0; }
线段树解法:
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; const ll maxn=1e6+10; int n,q; ll tree[maxn*4],a[maxn]; void pushup(int rt){ tree[rt]=tree[rt<<1]+tree[rt<<1|1]; } void build(int l,int r,int rt){ if(l==r){ tree[rt]=a[l]; return; } int mid=(l+r)>>1; build(l,mid,rt<<1); build(mid+1,r,rt<<1|1); pushup(rt); } void update(int pos,ll val,int l,int r,int rt){ if(l==r){ tree[rt]+=val; return; } int mid=(l+r)>>1; if(pos<=mid) update(pos,val,l,mid,rt<<1); else update(pos,val,mid+1,r,rt<<1|1); pushup(rt); } ll ask(int L,int R,int l,int r,int rt){ ll res=0; if(l>=L&&r<=R) return tree[rt]; pushup(rt); int mid=(l+r)>>1; if(L<=mid)res+=ask(L,R,l,mid,rt<<1); if(R>mid)res+=ask(L,R,mid+1,r,rt<<1|1); return res; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&q); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]); build(1,n,1); while(q--){ int id,x,y; scanf("%d%d%d",&id,&x,&y); if(id==1) update(x,y,1,n,1); else printf("%lld ",ask(x,y,1,n,1)); } return 0; }
#131. 树状数组 2 :区间修改,单点查询
题目链接:https://loj.ac/problem/131
题目描述
这是一道模板题。
给定数列 a[1], a[2], dots, a[n]a[1],a[2],…,a[n],你需要依次进行 qq 个操作,操作有两类:
1 l r x
:给定 l,r,xl,r,x,对于所有 iin[l,r]i∈[l,r],将 a[i]a[i] 加上 xx(换言之,将 a[l], a[l+1], dots, a[r]a[l],a[l+1],…,a[r] 分别加上 xx);2 i
:给定 ii,求 a[i]a[i] 的值。
输入格式
第一行包含 22 个正整数 n,qn,q,表示数列长度和询问个数。保证 1le n,qle 10^61≤n,q≤106。
第二行 nn 个整数 a[1], a[2], dots, a[n]a[1],a[2],…,a[n],表示初始数列。保证 |a[i]|le 10^6∣a[i]∣≤106。
接下来 qq 行,每行一个操作,为以下两种之一:
1 l r x
:对于所有 iin[l,r]i∈[l,r],将 a[i]a[i] 加上 xx;2 i
:给定 ii,求 a[i]a[i] 的值。
保证 1le lle rle n,1≤l≤r≤n, |x|le 10^6∣x∣≤106。
输出格式
对于每个 2 i
操作,输出一行,每行有一个整数,表示所求的结果。
样例
样例输入
3 2
1 2 3
1 1 3 0
2 2
样例输出
2
数据范围与提示
对于所有数据,1le n,qle 10^6,1≤n,q≤106, |a[i]|le 10^6∣a[i]∣≤106, 1le lle rle n,1≤l≤r≤n, |x|le 10^6∣x∣≤106。
树状数组解法:
思路:这里需要用到差分数组,我们定义sum【i】为第i个数与第i-1个数的差,即sum【i】=a【i】-a【i-1】,这就使得a【i】=sum【1】+sum【2】+……sum【i】,就是sum数组的前缀和了,我们用数组数组维护sum数组的前缀和就好了。
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const ll maxn=1e6+10; ll sum[maxn]; int n,q; int lowbit(int x){return x&(-x);} void add(int x,int val){ while(x<=n){ sum[x]+=val; x+=lowbit(x); } } ll ask(int x){ ll res=0; while(x){ res+=sum[x]; x-=lowbit(x); } return res; } int main(){ cin>>n>>q; ll tmp=0; for(int i=1;i<=n;i++){ int x; cin>>x; add(i,x-tmp); tmp=x; } while(q--){ int id,l,r,x; cin>>id; if(id==1){ cin>>l>>r>>x; add(l,x); add(r+1,-x); } else{ cin>>x; cout<<ask(x)<<endl; } } return 0; }
分块解法:
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; const ll maxn=1e6+10; int n,q,block,num; ll a[maxn],lazy[maxn],l[maxn],r[maxn],belong[maxn]; void build(){ block=sqrt(n); num=n/block; if(n%block)num++; for(int i=1;i<=num;i++) l[i]=(i-1)*block+1,r[i]=block*i; for(int i=1;i<=n;i++) belong[i]=(i-1)/block+1; } void update(int x,int y,int z){ if(belong[x]==belong[y]){ for(int i=x;i<=y;i++)a[i]+=z; return; } for(int i=x;i<=r[belong[x]];i++)a[i]+=z; for(int i=belong[x]+1;i<belong[y];i++)lazy[i]+=z; for(int i=l[belong[y]];i<=y;i++)a[i]+=z; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&q); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]); build(); while(q--){ int id,x,y,z; scanf("%d",&id); if(id==1){ scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); update(x,y,z); } else{ scanf("%d",&x); printf("%lld ",a[x]+lazy[belong[x]]); } } return 0; }
线段树解法:
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; const ll maxn=1e6+10; int n,q; ll a[maxn],tree[maxn*4],lazy[maxn*4]; void pushup(int rt){tree[rt]=tree[rt<<1]+tree[rt<<1|1];} void pushdown(int l,int r,int rt){ if(lazy[rt]){ tree[rt<<1]+=lazy[rt]*l; tree[rt<<1|1]+=lazy[rt]*r; lazy[rt<<1]+=lazy[rt]; lazy[rt<<1|1]+=lazy[rt]; lazy[rt]=0; } } void build(int l,int r,int rt){ if(l==r){ tree[rt]=a[l]; return; } int mid=l+r>>1; build(l,mid,rt<<1); build(mid+1,r,rt<<1|1); pushup(rt); } void update(int L,int R,int val,int l,int r,int rt){ if(l>=L&&r<=R){ tree[rt]+=val*(r-l+1); lazy[rt]+=val; return ; } int mid=l+r>>1; pushdown(mid-l+1,r-mid,rt); if(mid>=L) update(L,R,val,l,mid,rt<<1); if(mid<R) update(L,R,val,mid+1,r,rt<<1|1); pushup(rt); } ll ask(int pos,int l,int r,int rt){ if(l==pos&&l==r) return tree[rt]; int mid=l+r>>1; pushdown(mid-l+1,r-mid,rt); ll ans; if(pos<=mid) return ask(pos,l,mid,rt<<1); else return ask(pos,mid+1,r,rt<<1|1); } int main(){ scanf("%d%d",&n,&q); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]); build(1,n,1); while(q--){ int id,x,y,z; scanf("%d",&id); if(id==1){ scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); update(x,y,z,1,n,1); } else{ scanf("%d",&x); printf("%lld ",ask(x,1,n,1)); } } return 0; }
#132. 树状数组 3 :区间修改,区间查询
题目链接:https://loj.ac/problem/132
题目描述
这是一道模板题。
给定数列 a[1], a[2], dots, a[n]a[1],a[2],…,a[n],你需要依次进行 qq 个操作,操作有两类:
1 l r x
:给定 l,r,xl,r,x,对于所有 iin[l,r]i∈[l,r],将 a[i]a[i] 加上 xx(换言之,将 a[l], a[l+1], dots, a[r]a[l],a[l+1],…,a[r] 分别加上 xx);2 l r
:给定 l,rl,r,求 sum_{i=l}^ra[i]∑i=lra[i] 的值(换言之,求 a[l]+a[l+1]+dots+a[r]a[l]+a[l+1]+⋯+a[r] 的值)。
输入格式
第一行包含 22 个正整数 n,qn,q,表示数列长度和询问个数。保证 1le n,qle 10^61≤n,q≤106。
第二行 nn 个整数 a[1],a[2],dots,a[n]a[1],a[2],…,a[n],表示初始数列。保证 |a[i]|le 10^6∣a[i]∣≤106。
接下来 qq 行,每行一个操作,为以下两种之一:
1 l r x
:对于所有 iin[l,r]i∈[l,r],将 a[i]a[i] 加上 xx;2 l r
:输出 sum_{i=l}^ra[i]∑i=lra[i] 的值。
保证 1le lle rle n,1≤l≤r≤n, |x|le 10^6∣x∣≤106。
输出格式
对于每个 2 l r
操作,输出一行,每行有一个整数,表示所求的结果。
样例
样例输入
5 10
2 6 6 1 1
2 1 4
1 2 5 10
2 1 3
2 2 3
1 2 2 8
1 2 3 7
1 4 4 10
2 1 2
1 4 5 6
2 3 4
样例输出
15
34
32
33
50
数据范围与提示
对于所有数据,1le n,qle 10^6,1≤n,q≤106, |a[i]|le 10^6∣a[i]∣≤106, 1le lle rle n,1≤l≤r≤n, |x|le 10^6∣x∣≤106。
树状数组解法:
思路:与上一题差不多,我们继续用一个数组sum1【i】存第i个数与第i-1个数的差,即
sum1【x】=a【i】-a【x-1】,a【x】=sum1【1】+sum1【2】+……sum1【x】
我们也可以很容易得出:
a【1】+a【2】+……a【x】=sum1【1】+(sum1【1】+sum1【2】)+……(sum1【1】+sum1【2】+……sum1【x】)
=x*sum1【1】+(x-1)*sum1【2】+……sum1【x】
=x*(sum1【1】+sum1【2】+……sum1【x】)-∑(i=1-x)(i-1)*sum1[i]
,所以我们就多建立一个数组sum2用来维护(x-1)sum1【x】就好了。
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const ll maxn=1e6+10; ll sum1[maxn],sum2[maxn],a[maxn]; int n,q; int lowbit(int x){return x&(-x);} void add(int x,ll val){ for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){ sum1[i]+=val; sum2[i]+=(x-1)*val; } } ll ask(int x){ ll res=0; for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){ res+=x*sum1[i]-sum2[i]; } return res; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&q); for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%lld",&a[i]); add(i,a[i]-a[i-1]); } while(q--){ int id,l,r,x; scanf("%d",&id); if(id==1){ scanf("%d%d%d",&l,&r,&x); add(l,x); add(r+1,-x); } else{ scanf("%d%d",&l,&r); printf("%lld ",ask(r)-ask(l-1)); } } return 0; }
分块解法:
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; const ll maxn=1e6+10; int n,q,num,block; ll lazy[maxn],sum[maxn],a[maxn],l[maxn],r[maxn],belong[maxn]; void build(){ block=sqrt(n); num=n/block; if(n%block)num++; for(int i=1;i<=num;i++) l[i]=(i-1)*block+1,r[i]=i*block; r[num]=n; for(int i=1;i<=n;i++) belong[i]=(i-1)/block+1; for(int i=1;i<=num;i++) for(int j=l[i];j<=r[i];j++) sum[i]+=a[j]; } void update(int x,int y,int val){ if(belong[x]==belong[y]){ for(int i=x;i<=y;i++) a[i]+=val; sum[belong[x]]+=(y-x+1)*val; return; } for(int i=x;i<=r[belong[x]];i++)a[i]+=val; for(int i=belong[x]+1;i<belong[y];i++){ sum[i]+=block*val; lazy[i]+=val; } for(int i=l[belong[y]];i<=y;i++)a[i]+=val; sum[belong[x]]+=(r[belong[x]]-x+1)*val; sum[belong[y]]+=(y-l[belong[y]]+1)*val; } ll ask(int x,int y){ ll res=0; if(belong[x]==belong[y]){ for(int i=x;i<=y;i++)res+=a[i]+lazy[belong[x]]; return res; } for(int i=x;i<=r[belong[x]];i++)res+=a[i]+lazy[belong[x]]; for(int i=belong[x]+1;i<belong[y];i++) res+=sum[i]; for(int i=l[belong[y]];i<=y;i++)res+=a[i]+lazy[belong[y]]; return res; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&q); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]); build(); while(q--){ int id,x,y,z; scanf("%d",&id); if(id==1){ scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); update(x,y,z); } else{ scanf("%d%d",&x,&y); printf("%lld ",ask(x,y)); } } return 0; }
线段树解法:
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; #define lson l,mid,rt<<1 #define rson mid+1,r,rt<<1|1 typedef long long ll; const ll maxn=1e6+10; int n,q; ll a[maxn],tree[maxn*4],lazy[maxn*4]; void pushup(int rt){tree[rt]=tree[rt<<1]+tree[rt<<1|1];} void pushdown(int l,int r,int rt){ if(lazy[rt]){ tree[rt<<1]+=l*lazy[rt]; tree[rt<<1|1]+=r*lazy[rt]; lazy[rt<<1]+=lazy[rt]; lazy[rt<<1|1]+=lazy[rt]; lazy[rt]=0; } } void build(int l,int r,int rt){ lazy[rt]=0; if(l==r){ tree[rt]=a[l]; return; } int mid=l+r>>1; build(lson); build(rson); pushup(rt); } void update(int L,int R,ll val,int l,int r,int rt){ if(l>=L&&r<=R){ tree[rt]+=val*(r-l+1); lazy[rt]+=val; return; } int mid=l+r>>1; pushdown(mid-l+1,r-mid,rt); if(mid>=L) update(L,R,val,lson); if(mid<R) update(L,R,val,rson); pushup(rt); } ll ask(int L,int R,int l,int r,int rt){ ll res=0; if(l>=L&&r<=R) return tree[rt]; int mid=l+r>>1; pushdown(mid-l+1,r-mid,rt); if(mid>=L) res+=ask(L,R,lson); if(mid<R) res+=ask(L,R,rson); return res; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&q); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]); build(1,n,1); while(q--){ int id,x,y,z; scanf("%d",&id); if(id==1){ scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); update(x,y,z,1,n,1); } else{ scanf("%d%d",&x,&y); printf("%lld ",ask(x,y,1,n,1)); } } return 0; }