[atARC129E]Yet Another Minimization

考虑最小割，具体建图如下——

对变量$x_{i}$建立$m-1$个点，依次记作$V_{i,1},V_{i,2},...,V_{i,m-1}$，并定义$V_{i,0}=S,V_{i,m}=T$

再建立$m$条边，第$j$条边为$(V_{i,j-1},V_{i,j},C_{i,j})$，割掉即表示选$A_{i,j}$作为$x_{i}$

关于$|x_{i}-x_{j}|W_{i,j}$，实际上可以看作
$$
\sum_{a\in Z,x_{j}\le a,a+1\le x_{i}}W_{i,j}+\sum_{a\in Z,x_{i}\le a,a+1\le x_{j}}W_{i,j}
$$
将左式用$V_{i,*}$向$V_{j,*}$的边处理，根据对称性右式即会被$V_{j,*}$向$V_{i,*}$的边处理

具体的，即要求$\forall a\in Z,V_{i,*}$向$V_{j,*}$连一条边，使得恰仅有在$A_{j,y}\le a,a+1\le A_{i,x}$时需要再割掉这条边，那么显然从$V_{i,\min_{a+1\le A_{i,x}}x-1}$向$V_{j,\max_{A_{j,y}\le a}j}$连边权为$W_{i,j}$的边即可

将同一个点对间的边合并，显然$V_{i,x-1}$向$V_{j,y}$连的边边权和即
$$
\sum_{a\in Z,a+1\le A_{i,x},a\ge A_{i,x-1},A_{j,y}\le a,A_{j,y+1}\ge a+1}W_{i,j}=\max\{\min(A_{i,x},A_{j,y+1})-\max(A_{i,x-1},A_{j,y}),0\}W_{i,j}
$$
（特别的，不妨假设$A_{i,0}=0$且$A_{j,y}=\infty$）

此时，对同一个$i$可能割掉多条$(V_{i,j-1},V_{i,j})$的边，这只需将$C_{i,j}$再加上一个足够大量即可避免

（但事实上，不加反而能够通过，似乎是数据有一些问题？）

另外，显然上式对同一个$(i,j)$至多有$o(m)$条边权非0的边，因此总边数是$o(n^{2}m)$的

时间复杂度为$o(maxFlow(nm,n^{2}m))$，可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 55
#define M 10
#define maxV 305
#define maxE 200005
#define ll long long
struct Edge{
    int nex,to;
    ll len;
}edge[maxE];
queue<int>q;
int n,m,S,T,E,id[N][M],a[N][M],head[maxV],work[maxV],d[maxV];
ll w;
void add(int x,int y,ll z){
    edge[E]=Edge{head[x],y,z};
    head[x]=E++;
    if (E&1)add(y,x,0);
}
bool bfs(){
    memset(d,-1,sizeof(d));
    d[S]=0,q.push(S);
    while (!q.empty()){
        int k=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex)
            if ((edge[i].len)&&(d[edge[i].to]<0)){
                d[edge[i].to]=d[k]+1;
                q.push(edge[i].to);
            }
    }
    return d[T]>=0;
}
ll dfs(int k,ll s){
    if (k==T)return s;
    ll ans=0;
    for(int &i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex)
        if ((edge[i].len)&&(d[edge[i].to]==d[k]+1)){
            ll p=dfs(edge[i].to,min(s,edge[i].len));
            edge[i].len-=p,edge[i^1].len+=p,s-=p,ans+=p;
            if (!s)return ans;
        }
    return ans;
}
ll dinic(){
    ll ans=0;
    memcpy(work,head,sizeof(head));
    while (bfs()){
        ans+=dfs(S,1e18); 
        memcpy(head,work,sizeof(head));
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m),S=0,T=n*(m-1)+1;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        id[i][0]=S,id[i][m]=T;
        for(int j=1;j<m;j++)id[i][j]=(i-1)*(m-1)+j;
        for(int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d%lld",&a[i][j],&w);
            add(id[i][j-1],id[i][j],w);
        }
        a[i][m+1]=1e6;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            scanf("%lld",&w);
            for(int x=1;x<=m;x++)
                for(int y=1;y<=m;y++){
                    add(id[i][x-1],id[j][y],max(min(a[i][x],a[j][y+1])-max(a[i][x-1],a[j][y]),0)*w);
                    add(id[j][x-1],id[i][y],max(min(a[j][x],a[i][y+1])-max(a[j][x-1],a[i][y]),0)*w);
                }
        }
    printf("%lld\n",dinic());
    return 0;
}