SCOI2009迷路

当初学矩阵幂的时候弃掉了，那时候只会用矩阵优化递推，碰到这种图论的瞬间躺地。

昨天听学长的课，有一道例题，在边权为一的图上求从某点到某点的路径方案数，只要对邻接矩阵跑qpow就完事了。

于是自己画了个小图，手跑矩阵，发现是真的，开始思考why。

其实矩阵幂感觉和floyed很像，c[i][j]=∑a[i][k]*b[k][j]，k就像是floyed中的断点，每次进行一次操作就好像走了一步，那么就会有方案数的改变，a到b走两步，可以由k₁、k₂、k₃……过去，那矩阵幂就把这个过程加速了。

至于这种边权不为1的，可以拆成9个点，除了第一个是实点，别的都是虚点，各个点直接连单向边，权为1，表示可以用一的贡献过去，然后有权值直接从i的第val个虚点指向j的第1个点，这样就和原问题等价了。

剩下的就是qpow和最后输出谁了，自己想想，不会的看代码在想想。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
const int P=2009;
int n,k;
char ch[300];
int cal(int i,int j){
    return (i-1)*9+j;
}
struct Matrix{
    int x[120][120];
    friend Matrix operator * (Matrix a,Matrix b){
        Matrix c;
        memset(c.x,0,sizeof(c.x));
//        c.debug();
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                for(int k=1;k<=n;k++)
                    c.x[i][j]=(c.x[i][j]+a.x[i][k]*b.x[k][j])%P;
        return c;
    }
    void add(int a,int b){
        x[a][b]=1;
        return ;
    }
    void ench(){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            x[i][i]=1;
        return ;
    }
    void debug(){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++)
                cout<<x[i][j]<<" ";
            cout<<endl;
        }
    }
    void put(){
        printf("%d",x[1][n-8]);
        return ;
    }
}a;
void qpow(int k){
    Matrix b,c;
    c.ench();
//    cout<<endl;
//    c.debug();
    b=a;
    for(;k;k>>=1,b=b*b)
        if(k&1) c=c*b;
    a=c;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<9;j++)
            a.add(cal(i,j),cal(i,j+1));
        scanf("%s",ch+1);
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(ch[j]-'0'==0) continue;
            a.add(cal(i,ch[j]-'0'),cal(j,1));
        }
    }n*=9;
//    a.debug();
    qpow(k);
//    cout<<endl;
//    a.debug();
    a.put();
    return 0;
}