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  • 离散有理系统函数的频率响应

    1. 单个零点的频率相应

        单个零点对应的分式为1-az-1,a可以为复数。当z在单位圆上取值时,我们可以将这个分式写为1-ree-jω来分析。

        这个因式的的幅度平方为:

        |1-ree-jω|2=(1-ree-jω)(1-re-jθe)=1+r2-2rcos(ω-θ)。

        (将1、ree-jω=rej(θ-ω)以及它们的差看做z平面上的一个三角形,那么上式就是三角等式c2=a2+b2-2abcosψ)

        1-ree-jω=1-rcos(ω-θ)+jrsin(ω-θ),据此可求出主值相位。

        设r=0.9,使用零极点图分析(根轨迹?奈奎斯特图?)(《信号与系统》,奥本海默),可以得出以下性质:

        ·幅值在ω=θ附近急剧下陷;

        ·r不变时,对数幅值是(ω-θ)的函数,当θ变化时,幅频特性只是在频率轴上平移;

        ·幅度最大值出现在ω-θ=π处;

    2. 多个极点

        如果系统的h[n]为实数,那么这个系统的频率响应必然有共轭对称的零点或极点(系统频率响应为实系数多项式)。例如,假设系统函数有极点re,那么必然有共轭极点re-jθ,于是这样一个有理函数系统的系统函数必然存在分母(1-rez-1)(1-re-jθz-1)=1-2rcosθz-1+r2z-2

    3. 据说有时候考虑幅度模平方更加方便(奥本海默说的,别问我什么时候方便,我不知道)

        |H(e)|2=H(e)H*(e)

        而对H取共轭会导致类似如下的结果:

        (1-dkz-1)*=1-dk*(z-1)*=1-dk*(z*)-1

        这里出现了z*。当我们将z的取值限制在单位圆上时,z=ejω    ==>    z*=e-jω    ==>    e=(z*)-1=1/z*

        所以,当z在单位圆上取值时,|H(e)|2=H(z)H*(1/z*):z在单位圆上取共轭再取倒数之后,就不会出现z*了。

    4. Matab画z域的bode图

        

        比如这个式子,首先分子分母同乘以z3变换成z的正幂形式,然后:

    >> x1=[0.05634];
    >> x2=[1 1];
    >> x=conv(x1,x2);             % conv可用于多项式相乘

    >> x3=[1 -1.10166 1];
    >> x=conv(x,x3);

    >> y1=[1 -0.683];

    >> y2=[1 -1.4461 0.7957];

    >> y=conv(y1, y2);

    >> dbode(y, x, 2);    % Ts=2可使得图形在数字频率PI/2结束

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