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  • 在从1到n的正数中1出现的次数

    题目:输入一个整数n,求从1nn个整数的十进制表示中1出现的次数。

    例如输入12,从112这些整数中包含1的数字有11011121一共出现了5次。

    分析:这是一道广为流传的google面试题。用最直观的方法求解并不是很难,但遗憾的是效率不是很高;而要得出一个效率较高的算法,需要比较强的分析能力,并不是件很容易的事情。当然,google的面试题中简单的也没有几道。

    首先我们来看最直观的方法,分别求得1到n中每个整数中1出现的次数。而求一个整数的十进制表示中1出现的次数,就和本面试题系列的第22题很相像了。我们每次判断整数的个位数字是不是1。如果这个数字大于10,除以10之后再判断个位数字是不是1。基于这个思路,不难写出如下的代码:

    int NumberOf1(unsignedint n);

    /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
    // Find the number of 1 in the integers between 1 and n
    // Input: n - an integer
    // Output: the number of 1 in the integers between 1 and n
    /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
    int NumberOf1BeforeBetween1AndN_Solution1(unsignedint n)
    {
          int number = 0;

          // Find the number of 1 in each integer between 1 and n
          for(unsignedint i = 1; i <= n; ++ i)
                number += NumberOf1(i);

          return number;
    }

    /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
    // Find the number of 1 in an integer with radix 10
    // Input: n - an integer
    // Output: the number of 1 in n with radix
    /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
    int NumberOf1(unsignedint n)
    {
          int number = 0;
          while(n)
          {
                if(n % 10 == 1)
                      number ++;

                n = n / 10;
          }

          return number;
    }

    这个思路有一个非常明显的缺点就是每个数字都要计算1在该数字中出现的次数,因此时间复杂度是O(n)。当输入的n非常大的时候,需要大量的计算,运算效率很低。我们试着找出一些规律,来避免不必要的计算。

    我们用一个稍微大一点的数字21345作为例子来分析。我们把从1到21345的所有数字分成两段,即1-1235和1346-21345。

    先来看1346-21345中1出现的次数。1的出现分为两种情况:一种情况是1出现在最高位(万位)。从1到21345的数字中,1出现在10000-19999这10000个数字的万位中,一共出现了10000(104)次;另外一种情况是1出现在除了最高位之外的其他位中。例子中1346-21345,这20000个数字中后面四位中1出现的次数是2000次(2*103,其中2的第一位的数值,103是因为数字的后四位数字其中一位为1,其余的三位数字可以在0到9这10个数字任意选择,由排列组合可以得出总次数是2*103)。

    至于从1到1345的所有数字中1出现的次数,我们就可以用递归地求得了。这也是我们为什么要把1-21345分为1-1235和1346-21345两段的原因。因为把21345的最高位去掉就得到1345,便于我们采用递归的思路。

    分析到这里还有一种特殊情况需要注意:前面我们举例子是最高位是一个比1大的数字,此时最高位1出现的次数104(对五位数而言)。但如果最高位是1呢?比如输入12345,从10000到12345这些数字中,1在万位出现的次数就不是104次,而是2346次了,也就是除去最高位数字之后剩下的数字再加上1。

    基于前面的分析,我们可以写出以下的代码。在参考代码中,为了编程方便,我把数字转换成字符串了。

    public class Test_25 {
    	public static void main(String[] args) {
    		int n = 21345;
    		System.out.println("1的个数为:"+NumOf1Between1AndN(n));
    	}
    	public static int NumOf1Between1AndN(Integer n){
    		if(n<1)return 0;
    		String str = n.toString();
    		return NumberOf1(str);
    	}
    	public static int NumberOf1(String str){
    		//获得输入数字的第一位数字,例如输入21345,firstDig=2
    		int firstDig=Integer.parseInt(str.charAt(0)+"");
    		int length = str.length();
    		if(length == 1 && firstDig ==0)return 0;
    		if(length==1 && firstDig>0) return 1;
    	    //首位为1的个数
    		int firstNumDigit = 0;
    		if(firstDig>1)firstNumDigit=PowerBase10(length-1);
    		if(firstDig==1)firstNumDigit=Integer.parseInt(str.substring(1))+1;
    		//其他位为1的个数
    		int otherNumDigit = firstDig*(length-1)*PowerBase10(length-2);
    		// 递归的位为1的个数
    		int numrecursive = NumberOf1(str.substring(1));
    		return firstNumDigit+otherNumDigit+numrecursive;
    	}
    	public static int PowerBase10(int n){
    		int result = 1;
    		for(int i=0;i<n;i++){
    			result*=10;
    		}
    		return result;
    	}
    }
    


    输出结果:1的个数为:18821

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/javawebsoa/p/3013873.html
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