设$E$为一复数集,若对$E$内每一复数$z$,都有唯一确定的复数$w$与之对应,则称$E$上确定了一个单值函数。
多值函数
设$w=f(z)$是定义于点集$E$上的单值或多值函数,并令$z=x+iy$,$w=u+iv$,$u,v$皆随$x,y$确定,因而$w=f(z)$又常写成$w=u(x,y)+iv(x,y)$
如将$z$表示成指数形式$z=re^{i heta}$,函数$w=f(z)$又可表成$w=P(r, heta)+iQ(r, heta)$
入变换:如对$z$平面上的点集$E$的任一点$z$,有$w$平面上的点集$F$的点$w$,使得$w=f(z)$,则称$w=f(z)$把$E$变(映)入$F$,简记为$f(E)subseteq F$
或称$w=f(z)$是$E$到$F$的入变换。
满变换:如果$f(E)subseteq F$,且对$F$的任一点$w$,有$E$的点$z$,使得$w=f(z)$,则称$w=f(z)$把$E$变(映)成$F$,(简记为:$f(E)=F$),或称$w=f(z)$是$E$到$F$的满变换。
若$w=f(z)$是点集$E$到$F$的满变换,且对$F$中的每个点$w$,在$E$中有一个或至少两个点与之对应,则在$F$上确定了一个单值或多值函数,记作$z=f^{-1}(w)$,它就称为函数$w=f(z)$的反函数,或称为变换$w=f(z)$的逆变换,若$z=f^{-1}(w)$也是$F$到$E$的单值变换,则称$w=f(z)$是$E$到$F$的双方单值变换,或一一变换。
极限,连续性:
设函数$w=f(z)$于点集$E$上有定义,$z_{0}$为$E$的聚点,如存在一复数$w_{0}$,使得对任给$varepsilon >0$有$delta >0$,只要$0<|z-z_{0}|<delta,zin E$就有
$|f(z)-f(z_{0})|<varepsilon$则称函数$f(z)$沿$E$于$z_{0}$有极限$w_{0}$
记为:$underset{z ightarrow z_{0},zin E}{lim}f(z)=w_{0}$
1.极限若存在,必唯一
2.$f(z),g(z)$沿点集$E$在$z_{0}$处极限存在,则其加减乘除极限仍存在,且等于他们极限的加减乘除。
定理:设函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$于点集E上有定义,$z_{0}=x_{0}+iy_{0}$为E的聚点,则
$underset{z ightarrow z_{0},zin E}{lim}f(z)=eta =a+ib$
的充要条件是
$underset{(x,y) ightarrow (x_{0},y_{0}),(x,y)in E}{lim}u(x,y)=a$
$underset{(x,y) ightarrow (x_{0},y_{0}),(x,y)in E}{lim}v(x,y)=b$
连续性:设函数$w=f(z)$于点集$E$上有定义,$z_{0}$为$E$的聚点,且$z_{0}in E$,若
$underset{z ightarrow z_{0},z_{0}in E}{lim}f(z)=f(z_{0})$
即任给$varepsilon>0$,有$delta>0$只要$|z-z_{0}|<delta,zin E$,就有
$|f(z)-f(z_{0})|<varepsilon$
则称$f(z)$沿$E$于$z_{0}$连续。
定理:设函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$于点集$E$上有定义,$z_{0}in E$,则$f(z)$沿$E$在点$z_{0}=x_{0}+iy_{0}$连续的充分必要条件是:
二元函数$u(x,y),v(x,y)$沿$E$于点$(x_{0},y_{0})$连续。
定义:如函数$f(z)$在点集$E$上各点均连续,则称$f(z)$在$E$上连续。