牛顿迭代法

     牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

牛顿迭代公式

    设r是(f(x)=0)的根，选取(x_0)作为r的初始近似值，过点((x_0,f(x_0))) ,做曲线 (y=f(x))的切线L，L的方程为(y=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)) ，求出L与x轴交点的横坐标

[x_1=x_0-frac{f(x_0)}{f’(x_0)}]

    称(x_1)为r的一次近似值。过点((x_1,f(x_1))) 做曲线 (y=f(x))的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标

[x_2=x_1-frac{f(x_1)}{f’(x_1)}]

    称(x_2)为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，

[x_{n+1}=x_n-frac{f(x_n)}{f’(x_n)}]

    称为r的(n+1)次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

    用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程(f(x)=0)线性化的一种近似方法。把 (f(x))在点 (x_0)的某邻域内展开成泰勒级数

[f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+frac{f’’(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+…+frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}+R_n(x)]

     取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即 (f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)=0)，以此作为非线性方程 (f(x)=0)的近似方程，若(f’(x_0) eq0)，则其解为

[x_1=x_0-frac{f(x_0)}{f’(x_0)}]

     这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：

[x_{n+1}=x_n-frac{f(x_n)}{f’(x_n)}]

    从下面的图中，我们可以看到牛顿迭代的几何意义，每次迭代，都会更加逼近(f(x)=0)的解。

     下面用牛顿迭代法在matlib解出方程(x^2+2xe^x+e^{2x}=0)的根，首先画出函数的图像，猜测根的大致位置。

函数图像如下图所示：

近似结果：

x=-1:0.01:1;
y= x.^2+2*x.*exp(x)+exp(2*x)
plot(x,y);
grid on;
clc;clear;
%syms x;
%diff(x^2+2*x*exp(x)+exp(2*x),x,1)
%clear;
x=0.0
for i=1:100
    x1=x-(x^2+2*x*exp(x)+exp(2*x))/(2*x + 2*exp(2*x) + 2*exp(x) + 2*x*exp(x))
    if(abs(x1-x)>0.0001)
        x=x1;
    else
        break;
    end
end
i