[算法笔记] 扩展欧几里得算法

1. 扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法用于求解这样一个问题：给定两个非零整数 (a) 和 (b) ，求一组整数解 ((x,y)) 使得 (ax+by = gcd(a,b)) 成立。

易知：

[ax+by = gcd(a,b) = gcd(b,a\%b) = ... = gcd(a',0) = a' \ a'x+0y = gcd(a',0) = a' => x=1 ]

下面说明求解过程。

[egin{aligned} gcd(a,b) &= gcd(a,a\%b) \ ax+by &= gcd(a,b) end{aligned} ]

所以设：

[egin{aligned} ax_1+by_1 &= gcd(a,b) \ bx_2+(a\%b)y_2 &= gcd(b,a\%b) end{aligned} ]

因此有：

[bx_2+(a\%b)y_2 = ax_1+by_1 ]

又因为（/表示整除）：

[a\%b = a - (a/b)*b ]

所以：

[egin{aligned} bx_2+(a - (a/b)*b)y_2 &= ax_1+by_1 \ ay_2+b(x_2 - (a/b)y_2) &= ax_1+by_1 end{aligned} ]

所以：

[egin{aligned} x_1 &= y_2 \ y_1 &= x_2 - (a/b)y_2 end{aligned} ]

重复进行以上步骤，到达递归边界时必然可以得一组解。

回到原式 (ax+by = gcd(a,b)) ，可得到递归边界：

when b=0: ax = gcd(a,0) = a 
so: x=1, y=random

代码实现：

//solve: ax + by = gcd(a,b)
int extGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)
    {
        // the equation has more than one solution
        // here, y can be a random val, which decide {x,y} at the last
        x = 1, y = (int)random() % 10;
        return a;
    }
    int gcd = extGcd(b, a % b, x, y);
    int t = y;
    y = x - (a / b) * y;
    x = t;
    return gcd;
}

下面继续探讨如何得出 ax+by=gcd(a,b) 的所有解。

先说结论：

[x' = x_0 + frac{b}{gcd(a,b)}K \ y' = y_0 - frac{a}{gcd(a,b)}K ]

下面看求解过程。

设新的解为 (x_0+s_1) 和 (y_0 - s_2) :

[egin{aligned} a(x_0+s_1)+b(y_0-s_2) &= ax_0 + by_0 \ as_1-bs_2 &= 0 \ frac{s_1}{s_2} &= frac{b}{a} = frac{b/gcd(a,b)}{a/gcd(a,b)} end{aligned} ]

显然，(frac{b}{gcd(a,b)}) 和 (frac{a}{gcd(a,b)}) 是互质的（没有大于 1 的公约数）。

所以取：：

[s_1 = frac{b}{gcd(a,b)}*K \ s_2 = frac{a}{gcd(a,b)}*K ]

其中，(K) 是任意的整数。

那么问题又来了，方程中的 (x) 的最小非负整数解是什么呢？

从通解式 (x' = x_0 + frac{b}{gcd(a,b)}K) 上看，应当是 (x' \% frac{b}{gcd(a,b)} = x_0 \% frac{b}{gcd(a,b)}) 。

但是由于在递归边界时，(y) 可以取任意值，所得的特解 (x_0) 可能为负，不能保证 (x_0 \% frac{b}{gcd(a,b)}) 是非负的。

如果 (x_0 \% frac{b}{gcd(a,b)}) 是负数，那么其取值范围是：

[(-frac{b}{gcd(a,b)},0) ]

所以，(x) 的最小非负整数解为：

[egin{aligned} x_0 \% frac{b}{gcd(a,b)} + frac{b}{gcd(a,b)} quad &if quad x_0<0 \ x_0 \% frac{b}{gcd(a,b)} quad &if quad x_0 ≥ 0 end{aligned} ]

综合一下，也就是：

[(x_0 \% frac{b}{gcd(a,b)} + frac{b}{gcd(a,b)}) \% frac{b}{gcd(a,b)} ]

2. ax+by=c求解

(ax+by=c) 有解的充要条件是 (c \% gcd(a,b) == 0) 。

如果 (ax+by=gcd(a,b)) 有一组解为：((x_0,y_0))，即：

[ax_0+by_0=gcd(a,b) ]

两边同乘以 (frac{c}{gcd(a,b)})：

[afrac{cx_0}{gcd(a,b)} + bfrac{cy_0}{gcd(a,b)} = c ]

所以：

[(frac{cx_0}{gcd(a,b)},frac{cy_0}{gcd(a,b)}) ]

是方程 (ax+by=c) 的一个特解。

同理可得：

[egin{aligned} & a(x'+s_1)+b(y'-s_2) = c \ & ax'+by'= c \ & frac{s_1}{s_2} = frac{b}{a} = frac{b/gcd(a,b)}{a/gcd(a,b)} end{aligned} ]

所以，通解为：

[x = frac{cx_0}{gcd(a,b)} + b/gcd(a,b)*K \ y = frac{cy_0}{gcd(a,b)} - a/gcd(a,b)*K ]

3. 同余式 ax ≡ c (MOD m) 求解

首先解释何为「同余式」，给定整数 (a) 和 (b) ，如果说二者「模 (m) 同余」，即满足：(a\%m == b\%m)，

（或者是满足 ((a-b)\%m==0) ）。

显然，每个整数各自与 ([0,m)) 内的唯一整数满足同余关系。

现在需要求解的问题是：同余式 (ax = c quad (MOD quad m)) 的解。

由同余式的定义，可得：

[(ax-c)\%m=0 ]

那么我们设：

[egin{aligned} ax-c &= my \ ax - my &= c end{aligned} ]

令 (y = -y)，可得：

[ax+my=c ]

使用上面第二小节的结论可得：

1. 如果 (c \% gcd(a,m) eq 0) ，则同余式 (ax=c(MODquad m)) 无解。

2. 如果 (c\%gcd(a,m)=0)，那么设 (ax_0+my_0 = gcd(a,m)) ，则有：

[egin{aligned} x &= frac{cx_0 + m*K}{gcd(a,m)},quad K = 0,1,..., gcd(a,m)-1 end{aligned} ]

4. 逆元求解以及 (b/a)%m 计算

本文的最后一个问题：设 (a,m) 是整数，求 (a) 模 (m) 的逆元。

首先解释一下，何为「模 (m) 的逆元」：如果 (a,b) 满足：(a*b = 1(MOD quad m))，那么我们就说 (a,b) 互为模 (m) 的逆元。

易知，逆元还有以下等价定义：

[egin{aligned} (a*b-1)\%m &= 0 \ a*b\%m &= 1 \ a &= frac{1}{b} (MOD quad m) \ b &= frac{1}{a} (MOD quad m) end{aligned} ]

那逆元到底有什么用呢？当我们计算 ((a*b)\%m) 时，编程实现时为了防止溢出会计算其等价式：(((a\%m)*(b\%m))\%m) 。但是计算 ((b/a)\%m) 时，该编程方法就无能为力了。

如果可以找到 (a) 模 (m) 的逆元 (x)，即：(a*x=1(MOD quad m))，那么：

[(b/a)\%m = (b*x)\%m ]

要求解 (x)，实质上就是求解：

[ax=1(MODquad m) ]

根据第三小节的结论：

1. 如果 (1\%gcd(a,m) eq0) ，即 (gcd(a,m) eq1)，即 (a,m) 互质，无解。

2. 如果 (gcd(a,m)=1)，那么 (ax equiv 1(MOD quad m)) 在 (0,m) 上有唯一解：

求解 (ax equiv 1(MOD quad m))，实质上是：

[egin{aligned} ax - 1 = my quad &Rightarrow quad ax+my=1=gcd(a,m) \ end{aligned} ]

使用第一小节的扩展欧几里得算法，可得 (x_0) ，最后最小非负数解就是逆元：

[a^{-1} = (x_0\%m+m)\%m ]

cpp代码：

int inverse(int a, int m)
{
    int x, y;
    int gcd = extGcd(a, m, x, y);
    return (x % m + m) % m;
}

5. 费马小定理

费马小定理：

设 (m) 是素数 ，且 (a\%m eq 0)，那么 (a^{m-1} equiv 1(MOD quad m)) 。

显然 (a*a^{m-2} equiv 1 (MOD quad m))，(a^{m-2}) 就是 (a) 模 (m) 的逆元，可使用快速幂求解。