不等式选讲

前言

在任何三角形中，任意两边之和大于第三边。 此结论称为三角不等式。以下的绝对值不等式，向量三角不等式，复数三角不等式都可以看作三角不等式的推理。所以他们的名称里面都有三角不等式。

实数三角不等式

实数形式的绝对值不等式，又称为实数三角不等式或绝对值三角不等式；

• 如果(a、b)是实数，则(||a|-|b||leqslant |apm b|leqslant |a|+|b|).

推导过程：由于(|x|=left{egin{array}{l}{x，xgeqslant 0}\{-x，x<0}end{array} ight.)

故有(-|a|leqslant aleqslant |a|①quadquad) (-|b|leqslant bleqslant |b|②quadquad) (-|b|leqslant -bleqslant |b|③)

由①+②得到，(-(|a|+|b|)leqslant a+bleqslant |a|+|b|)，

即(|a+b|leqslant |a|+|b|cdotscdots)④.

由①+③得到，(-(|a|+|b|)leqslant a-bleqslant |a|+|b|)，

即(|a-b|leqslant |a|+|b|cdotscdots)⑤.

又由于(|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|quad)，(|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|quad)，

由④可知，(|a|=|(a+b)-b|leqslant |a+b|+|-b|=|a+b|+|b|)，

即(|a|-|b|leqslant |a+b|cdotscdots)⑥.

(|b|=|(b+a)-a|leqslant |b+a|+|-a|=|a+b|+|a|)，

即(-(|a|-|b|)leqslant |a+b|cdotscdots)⑦.

又(|a|=|(a-b)+b|leqslant |a-b|+|b|)，

即(|a|-|b|leqslant |a-b|cdotscdots)⑧.

(|b|=|(b-a)+a|leqslant |b-a|+|a|=|a-b|+|a|)，

即(-(|a|-|b|)leqslant |a-b|cdotscdots)⑨.

由⑥⑦得到，(||a|-|b||leqslant |a+b|cdotscdots)⑩.

由⑧⑨得到，(||a|-|b||leqslant |a-b|cdotscdots)⑪.

综合④⑤⑩⑪，得到有关绝对值的不等式(||a|-|b||leqslant |apm b|leqslant |a|+|b|).

使用难点：要特别注意取等号的条件，尤其是求最值时。

①(|a-b|=|a|+|b|Leftrightarrow) (ableqslant 0)

②(|a+b|=|a|+|b|Leftrightarrow) (abgeqslant 0)

③(|a|-|b|=|a+b|Leftrightarrow) (b(a+b)leqslant 0)

④(|a|-|b|=|a-b|Leftrightarrow) (b(a-b)geqslant 0)

⑤(|a|-|b|=|a+b|Leftrightarrow|a|)(=|a+b|+|b|Leftrightarrow|(a+b)-b|)(=|a+b|+|b|) (Leftrightarrow b(a+b)leqslant 0)

⑥(|a|-|b|=|a-b|Leftrightarrow) (b(a-b)geqslant 0)

⑦注意原不等式中的(a)，(b)的内涵，可以是实数，可以是代数式，可以是向量、复数等。

向量三角不等式

如果向量(vec{a})，(vec{b})，(||vec{a}|-|vec{b}||leqslant |vec{a}pm vec{b}|leqslant |vec{a}|+|vec{b}|)

证明思路1：从数[向量]的角度证明，

首先证明：(||vec{a}|-|vec{b}||leqslant |vec{a}+vec{b}|leqslant |vec{a}|+|vec{b}|quad)

由于(|vec{a}+vec{b}|^2=(vec{a}+vec{b})^2=vec{a}^2+vec{b}^2+2vec{a}cdotvec{b})

(=|vec{a}|^2+|vec{b}|^2+2|vec{a}||vec{b}|cos heta)

当(cos heta=1)时，即( heta=0)时，(left[|vec{a}+vec{b}|^2 ight]_{max}=|vec{a}|^2+|vec{b}|^2+2|vec{a}||vec{b}|=(|vec{a}|+|vec{b}|)^2)，

当(cos heta=-1)时，即( heta=pi)时，(left[|vec{a}+vec{b}|^2 ight]_{min}=|vec{a}|^2+|vec{b}|^2-2|vec{a}||vec{b}|=(|vec{a}|-|vec{b}|)^2)，

则有((|vec{a}|-|vec{b}|)^2leqslant|vec{a}+vec{b}|^2leqslant (|vec{a}|+|vec{b}|)^2)

故(||vec{a}|-|vec{b}||leqslant |vec{a}+vec{b}|leqslant |vec{a}|+|vec{b}|cdotscdotscdots ①)

其次证明：(||vec{a}|-|vec{b}||leqslant |vec{a}-vec{b}|leqslant |vec{a}|+|vec{b}|quad)

由于(|vec{a}-vec{b}|^2=(vec{a}-vec{b})^2=vec{a}^2+vec{b}^2-2vec{a}cdotvec{b})

(=|vec{a}|^2+|vec{b}|^2-2|vec{a}||vec{b}|cos heta)

当(cos heta=-1)时，即( heta=pi)时，(left[|vec{a}-vec{b}|^2 ight]_{max}=|vec{a}|^2+|vec{b}|^2+2|vec{a}||vec{b}|=(|vec{a}|+|vec{b}|)^2)，

当(cos heta=1)时，即( heta=0)时，(left[|vec{a}-vec{b}|^2 ight]_{min}=|vec{a}|^2+|vec{b}|^2-2|vec{a}||vec{b}|=(|vec{a}|-|vec{b}|)^2)，

则有((|vec{a}|-|vec{b}|)^2leqslant|vec{a}-vec{b}|^2leqslant (|vec{a}|+|vec{b}|)^2)

故(||vec{a}|-|vec{b}||leqslant |vec{a}-vec{b}|leqslant |vec{a}|+|vec{b}|cdotscdotscdots ②)

综上①②可知，(||vec{a}|-|vec{b}||leqslant |vec{a}pm vec{b}|leqslant |vec{a}|+|vec{b}|)

证明思路2：从形[向量的图形]的角度证明，可以做出向量三角形，利用向量的加法和减法，从形上说明；略。

复数三角不等式

• 如果(a、b)是复数，则(||a|-|b||leqslant |apm b|leqslant |a|+|b|)，仅作了解。

柯西不等式

• 二维形式：((a^2+b^2)(c^2+d^2)ge (ac+bd)^2)，(a，b，c，din R)，当且仅当(cfrac{a}{c}=cfrac{b}{d})时取到等号；

证明：((a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2)

(=(a^2c^2+b^2d^2)+(a^2d^2+b^2c^2))

(=(a^2c^2+b^2d^2+2accdot bd)+(a^2d^2+b^2c^2-2adcdot bc))

(=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2geqslant (ac+bd)^2).

当且仅当(ad-bc=0)，即当且仅当(cfrac{a}{c}=cfrac{b}{d})时取到等号；

• 三维形式：((a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)ge (ad+be+cf)^2)，

(a，b，c，d，e，fin R)，当且仅当(cfrac{a}{d}=cfrac{b}{e}=cfrac{c}{f})时取到等号；

• 二维向量形式：(|vec{a}cdotvec{b}|leqslant |vec{a}|cdot |vec{b}|)，其中(vec{a}=(a_1,a_2))，(vec{b}=(b_1,b_2))，

• 三维向量形式：(|vec{a}cdotvec{b}|leqslant |vec{a}|cdot |vec{b}|)，其中(vec{a}=(a_1,a_2,a_3))，(vec{b}=(b_1,b_2,b_3))，

典例剖析

例1若(2x+3y+z=7)，求(x^2+y^2+z^2)的最小值。

分析：由三维形式的柯西不等式可得，

((2^2+3^2+1^2)cdot (x^2+y^2+z^2)ge (2x+3y+z)^2)

即(x^2+y^2+z^2ge cfrac{49}{14}=cfrac{7}{2})，

当且仅当(cfrac{x}{2}=cfrac{y}{3}=cfrac{z}{1})，及(2x+3y+z=7)，

即(x=1)，(y=cfrac{3}{2})，(z=cfrac{1}{2})时取到等号。

例2【2020届宝鸡质检2文数第23题改编】求函数(g(x)=|x+1|+|x-1|)的最小值。

法1：分段函数法，由上可知，(g(x)=egin{cases}-2x，&xleq -1\2，&-1<x<1\2x，&xge 1end{cases})，

在每一段上求其最小值，就得到整个定义域上的函数(g(x)_{min}=2)；

法2：图像法，作出函数(g(x))的图像，由图像可知，(g(x)_{min}=2)；

法3：绝对值不等式法，(g(x)=|x+1|+|x-1|ge |(x+1)-(x-1)|=2)，

当且仅当(-1leq xleq 1)时取等号。故(g(x)_{min}=2)；

法4：绝对值的几何意义法，如图所示

由数轴图可知，当实数(x)所对应的点(C)位于点(A)(对应实数(-1))和(B)(对应实数(1))之间时 ，(|x+1|+|x-1|=|AC|+|BC|=|AB|=2)；

当实数(x)所对应的点(C)位于点(A)左侧，或者点(B)右侧时 ，(|x+1|+|x-1|=|AC|+|BC|>|AB|=2)；

故我们能直观的知道函数(g(x)=|x+1|+|x-1|)的最小值为(2)。

(2).正数(a),(b),(c)满足(a+2b+3c=m)，求证：(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}+cfrac{3}{c}geqslantcfrac{36}{5}).

分析：由(1)可知，(a+2b+3c=5)，

法1：由柯西不等式可得，

([(sqrt{a})^2+(sqrt{2b})^2+(sqrt{3c})^2]cdot [(sqrt{frac{1}{a}})^2+(sqrt{frac{2}{b}})^2+(sqrt{frac{3}{c}})^2])

(geqslant left (sqrt{a} imessqrt{frac{1}{a}}+sqrt{2b} imessqrt{frac{2}{b}}+sqrt{3c} imessqrt{frac{3}{c}} ight )^2=(1+2+3)^2=36)

当且仅当(cfrac{a}{frac{1}{a}}=cfrac{2b}{frac{2}{b}}=cfrac{3c}{frac{3}{c}})，即(a=b=c)且(a+2b+3c=5)，

则(a=b=c=cfrac{5}{6})时取到等号。

即(5(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}+cfrac{3}{c})geqslant 36)，

即(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}+cfrac{3}{c}geqslantcfrac{36}{5}).

法2：利用均值不等式，乘常数除常数[两项×两项较常见，本题是三项×三项]的思路证明，

(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}+cfrac{3}{c}=cfrac{1}{5}(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}+cfrac{3}{c}) imes 5)

(=cfrac{1}{5}(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}+cfrac{3}{c}) imes (a+2b+3c))

(=cfrac{1}{5}(1+4+9+cfrac{2b}{a}+cfrac{2a}{b}+cfrac{3c}{a}+cfrac{3a}{c}+cfrac{6c}{b}+cfrac{6b}{c}))

(geqslant cfrac{1}{5}(1+4+9+2sqrt{4}+2sqrt{9}+2sqrt{36})=cfrac{36}{5}).

当且仅当(cfrac{2b}{a}=cfrac{2a}{b})且(cfrac{3c}{a}=cfrac{3a}{c})且(cfrac{6c}{b}=cfrac{6b}{c})，

即即(a=b=c)且(a+2b+3c=5)，则(a=b=c=cfrac{5}{6})时取到等号。

例3求函数(h(x)=|x+1|-|x-1|)的最值。

法1：分段函数法，仿上例完成；(h(x)_{min}=-2；h(x)_{max}=2)；

法2：图像法，(h(x)_{min}=-2；h(x)_{max}=2)；

法3：绝对值不等式法，由于(||x+1|-|x-1||leq |(x+1)-(x-1)|=2)，故(-2leq |x+1|-|x-1|leq 2)；故(h(x)_{min}=-2；h(x)_{max}=2)；