365：水壶问题（C++）

题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/water-and-jug-problem/

题目描述

有两个容量分别为x升和y升的水壶以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶，从而可以得到恰好z升的水？如果可以，最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的z升 水。

你允许：

• 装满任意一个水壶
• 清空任意一个水壶
• 从一个水壶向另外一个水壶倒水，直到装满或者倒空

题目示例

示例 1: (From the famous "Die Hard" example)

输入: x = 3, y = 5, z = 4
输出: True

示例 2:

输入: x = 2, y = 6, z = 5
输出: False

解题思路

数学法：根据裴蜀定理可知，我们可以将问题转化为求解整数a和b使得等式ax+by = z，而满足等式的前提条件x+y>=z。由裴蜀定理得，ax+by=z有解当且仅当z是x,y的最大公约数d的倍数。因此我们只需要找到x, y的最大公约数d并判断z是否是它的倍数即可。

DFS法：根据牛客官网解析，深度优先搜索中的每一步以 remain_x, remain_y 作为状态，即表示 X 壶和 Y 壶中的水量。在每一步搜索时，我们会依次尝试所有的操作，递归地搜索下去。这可能会导致我们陷入无止境的递归，因此我们还需要使用一个哈希结合（HashSet）存储所有已经搜索过的 remain_x, remain_y 状态，保证每个状态至多只被搜索一次。

在任意一个时刻，我们可以且仅可以采取以下几种操作：

• 把 X 壶的水灌进 Y 壶，直至灌满或倒空；
• 把 Y 壶的水灌进 X 壶，直至灌满或倒空；
• 把 X 壶灌满；
• 把 Y 壶灌满；
• 把 X 壶倒空；
• 把 Y 壶倒空。

程序源码

DFS法

using PII = pair<int, int>;

class Solution {
public:
    bool canMeasureWater(int x, int y, int z) {
        stack<PII> stk;
        stk.emplace(0, 0);
        auto hash_func = [](const PII& o) {return hash<int>()(o.first) ^ hash<int>()(o.second);};
        unordered_set<PII, decltype(hash_func)> seen(0, hash_func);
        while (!stk.empty()) {
            if (seen.count(stk.top())) {
                stk.pop();
                continue;
            }
            seen.emplace(stk.top());
            
            auto [remain_x, remain_y] = stk.top();
            stk.pop();
            if (remain_x == z || remain_y == z || remain_x + remain_y == z) {
                return true;
            }
            // 把 X 壶灌满。
            stk.emplace(x, remain_y);
            // 把 Y 壶灌满。
            stk.emplace(remain_x, y);
            // 把 X 壶倒空。
            stk.emplace(0, remain_y);
            // 把 Y 壶倒空。
            stk.emplace(remain_x, 0);
            // 把 X 壶的水灌进 Y 壶，直至灌满或倒空。
            stk.emplace(remain_x - min(remain_x, y - remain_y), remain_y + min(remain_x, y - remain_y));
            // 把 Y 壶的水灌进 X 壶，直至灌满或倒空。
            stk.emplace(remain_x + min(remain_y, x - remain_x), remain_y - min(remain_y, x - remain_x));
        }
        return false;
    }
};

数学法

class Solution {
public:
    bool canMeasureWater(int x, int y, int z) {
        if(x + y < z) return false;
        if(x == 0|| y ==0) return z == 0 || x + y == z;
        return z % gcd(x, y) == 0;
    }
};