题目描述：
幽香这几天学习了魔法，准备建造一个大型的时空传送阵。
幽香现在可以在幻想乡的n个地点建造一些传送门，如果她建造了从地点a与地点b之间的传送门，那么从a到b和从b到a都只需要单位1的时间。
同时这些地点之间在地理上是非常遥远的，因此来往他们必须使用传送门。
现在幽香想要问你，有多少种建造传送门的方案，使得地点1和地点n之间的最短距离恰好为k？两个方案不同当且仅当建造的传送门的集合不同。不能建造节点到自身的传送门，两个点之间也最多造一个传送门。
分析：
DP...
然而考场上没时间了，只打了20pts(k==1)
为了防止变量名冲突，题面中的k在代码中都用m代替！！！
首先：显然这道题的合法路径是一层一层的节点组成的
然后就可以DP了（话说考场上状态设计都设计出来了，转移没时间了...）
设f[i][j][k]表示当前进行到第i层，总共使用了j个节点，第i层使用了k个节点
显然这个可以有f[i-1][j-k][s]转移过来，我们只要枚举s就可以了，现在我们只要计算f[i-1][j-k][s]的系数就好了
分类讨论：
当i<m时:
①可以当前层内部连边，也就是$2^{C_k^2}$种可能
②当前层与上一层连边，且当前层的所有点至少有一条边连出去，也就是$(sumlimits_{p=1}^{s}C_s^p-1)^k$
tip:上式子用二项式定理可以化简为$(2^{s}-1)^k$
③注意到当前这k个点是从剩下的n-j+k-1(最后减一是因为第n个点必须放在第m层)所以从这里面选k个点，方案数为$C_{n-j+k-1}^k$
综上：$$f[i][j][s]=sum f[i-1][j-k][s]*(2^s-1)^k*C_{n-j+k-1}^k*C_k^2$$
当i==m时
注意到只有第③个条件需要改变，也就是说第n个点肯定在这一层，所以只要在n-j+k-1中选择k-1的点即可，方案数为$C_{n-j+k-1}^{k-1}$
即：$$f[i][j][s]=sum f[i-1][j-k][s]*(2^s-1)^k*C_{n-j+k-1}^{k-1}*C_k^2$$
预处理一下组合数，及时取模，结合快速幂就好了
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define int long long 3 using namespace std; 4 inline int read(){ 5 int ans=0,f=1;char chr=getchar(); 6 while(!isdigit(chr)){if(chr=='-')f=-1;chr=getchar();} 7 while(isdigit(chr)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1)+chr-48;chr=getchar();} 8 return ans*f; 9 }const int P = 1e9+7; 10 int n,m,f[105][105][105],ans,cc[105][105]; 11 int ksm(int x,int p){ 12 int ans=1; 13 for(;p;p>>=1,x=x*x%P) if(p&1) ans=ans*x%P; 14 return ans; 15 } 16 int C(int x,int y){ 17 int mul=1; 18 for(int i=2;i<=y;i++) mul=mul*i%P; 19 for(int i=2;i<=x-y;i++) mul=mul*i%P; 20 int t=ksm(mul,P-2); 21 mul=1; 22 for(int i=2;i<=x;i++) mul=mul*i%P; 23 mul=mul*t%P; 24 } 25 inline void Add(int &x,int y){x=x+y;if(x>=P)x-=P;} 26 inline void Solve(){ 27 f[0][1][1]=1; 28 for(int i=1;i<=m;++i) 29 for(int j=1;j<=n;++j) 30 for(int k=1;k<=j;k++){ 31 for(int s=1;s<=j-k;s++) 32 if(i<m)//第一种 33 Add(f[i][j][k],f[i-1][j-k][s]*ksm(2,(k-1)*k/2)%P*cc[n-j+k-1][k]%P*ksm(ksm(2,s)-1,k)%P); 34 else//第二种 35 Add(f[i][j][k],f[i-1][j-k][s]*ksm(2,(k-1)*k/2)%P*cc[n-j+k-1][k-1]%P*ksm(ksm(2,s)-1,k)%P); 36 } 37 for(int i=m+1;i<=n;i++) 38 for(int j=1;j<=n;j++) 39 Add(ans,f[m][i][j]*ksm(2,(n-i)*(n-i-1)/2+j*(n-i)%P)%P); 40 cout<<ans<<endl; 41 } 42 signed main(){ 43 freopen("timegate.in","r",stdin); 44 freopen("timegate.out","w",stdout); 45 for(int i=0;i<=100;i++)for(int j=0;j<=i;j++)cc[i][j]=C(i,j);//预处理组合数 46 n=read(),m=read(); 47 Solve(); 48 return 0; 49 }