[LeetCode] 72. Edit Distance （编辑距离）

• Difficulty: Hard
• Related Topics: String, Dynamic Programming
• Link: https://leetcode.com/problems/edit-distance/

Description

Given two strings word1 and word2, return the minimum number of operations required to convert word1 to word2.
给定两字符串 word1 和 word2，返回将 word1 转化为 word2 所需的最少操作数。

You have the following three operations permitted on a word:
你可以对字符串进行以下三种操作：

• Insert a character
  插入一个字符
• Delete a character
  删除一个字符
• Replace a character
  替换一个字符

Examples

Example 1

Input: word1 = "horse", word2 = "ros"
Output: 3
Explanation: 
horse -> rorse (replace 'h' with 'r')
rorse -> rose (remove 'r')
rose -> ros (remove 'e')

Example 2

Input: word1 = "intention", word2 = "execution"
Output: 5
Explanation: 
intention -> inention (remove 't')
inention -> enention (replace 'i' with 'e')
enention -> exention (replace 'n' with 'x')
exention -> exection (replace 'n' with 'c')
exection -> execution (insert 'u')

Constraints

• 0 <= word1.length, word2.length <= 500
• word1 and word2 consist of lowercase English letters.

Solution

虽然这题在《算法导论》上说是 DNA 对齐排列问题的一般化，不过实际解题过程更像是求最长公共子序列。DNA 对齐排列问题可以参考文后给出的一篇博客，我们先看这个问题。为了解题方便，这里所有字符串的下标都从 1 开始。定义 dp(i, j) 为字符串 s[1..i] 到字符串 t[1..j] 的编辑距离，则有以下几种可能：

1. s 为空串，则 dp(i, j) = j（相当于把串 t 复制一份）

2. t 为空串，则 dp(i, j) = i（相当于把串 s 清空）

3. 都不为空串，则需要处理 s[i] 和 t[j]，若它们相同，不需要进行操作（dp(i, j) = dp(i - 1, j - 1)）；若不同，则又有以下三种操作方案：

   • 替换（把 s[i] 替换成 t[j]）：此时 dp(i, j) = dp(i - 1, j - 1) + 1；
   • 增加（把 t[j] 加入结果集）：此时 dp(i, j) = dp(i, j - 1) + 1；
   • 删除（把 s[i] 删去）：此时 dp(i, j) = dp(i - 1, j) - 1；

   以上三者取最小值

最后的代码如下：

class Solution {
    fun minDistance(word1: String, word2: String): Int {
        val dp = Array(word1.length + 1) { IntArray(word2.length + 1) }
        word1.indices.forEach { dp[it + 1][0] = it + 1 }
        word2.indices.forEach { dp[0][it + 1] = it + 1 }

        for (i in 1..word1.length) {
            for (j in 1..word2.length) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
                } else {
                    dp[i][j] = minOf(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + 1
                }
            }
        }

        return dp.last().last()
    }
}

那么如何得出转化方案呢？我们看一下 Example 1 对应的 dp 数组：

    r o s
  0 1 2 3
h 1 1 2 3
o 2 2 1 2
r 3 2 2 2
s 4 3 3 2
e 5 4 4 3

不难看出，从起始到最后的路径不止一条。我们从右下角出发，往左上角延伸，每次都选择左上角三个数中最小的，即可确定一条可行解，每次数值发生变化的地方即为我们的操作点。

对于任意 dp[i][j]，若行进过程中发生数值变化，则根据发生变化的位置不同，有：

• dp[i - 1][j - 1]：替换；

• dp[i - 1][j]：删除；

• dp[i][j - 1]：增加。

文后阅读

1. DNA序列对齐问题 - Qcer - 博客园