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  • 【bzoj3884】上帝与集合的正确用法 扩展欧拉定理

    题目描述

    根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:
    第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”。
    第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“α”。
    第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“β”。
    第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合。显然,一共会有16种不同的“γ”。
    如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有65536种,第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
    然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……
    然而不久,当上帝创造出最后一种元素“θ”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。
    至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种?
    上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
    你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素,或10^18次,或者干脆∞次。
    一句话题意:

    输入

    接下来T行,每行一个正整数p,代表你需要取模的值

    输出

    T行,每行一个正整数,为答案对p取模后的值

    样例输入

    3
    2
    3
    6

    样例输出

    0
    1
    4


    题解

    扩展欧拉定理

    内容:

    证明参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24902174

    这个定理不要求a和p互质,可以直接使用。

    回到题目中,设a=2,n=2^2^...,由于有无穷个2,,所以有a^n mod p = a^(a^n mod phi(p) + phi(p)) mod p。

    可以发现a^n mod p和a^n mod phi(p)是一样的,所以我们可以递归求解。

    边界条件:当a^n mod p为定值时结束。我们可以知道当p=1时这个式子必然等于0,可以结束。

    而且这样的方法时间复杂度是O(logp)的,参考 http://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/43951401

    这样加上快速幂就能求解了。

    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    ll pow(ll y , ll p)
    {
        ll x = 2 , ans = 1;
        while(y)
        {
            if(y & 1) ans = ans * x % p;
            x = x * x % p , y >>= 1;
        }
        return ans;
    }
    ll phi(ll x)
    {
        ll i , ans = x;
        for(i = 2 ; i * i <= x ; i ++ )
        {
            if(x % i == 0)
            {
                ans = ans / i * (i - 1);
                while(x % i == 0) x /= i;
            }
        }
        if(x != 1) ans = ans / x * (x - 1);
        return ans;
    }
    ll cal(ll p)
    {
        if(p == 1) return 0;
        ll t = phi(p);
        return pow(cal(t) + t , p);
    }
    int main()
    {
        int T;
        ll p;
        scanf("%d" , &T);
        while(T -- ) scanf("%lld" , &p) , printf("%lld
    " , cal(p));
        return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/6950483.html
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