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  • 题解 P2272 【[ZJOI2007]最大半连通子图】

    P2272 [ZJOI2007]最大半连通子图

    萌新初学Tarjan,在《信息学奥赛一本通-提高篇》中看到这题,看到题解不多,便想发布一篇较为清新简洁的题解。——第5道紫题

    题目大意:

    定义最大半连通图:对于图中任意两点u,v,存在一条u到v的有向路径 或者 从v到u的有向路径。求一个图中不同的最大半连通子图的数目。

    看到题面时大家很容易想到,如果两点互相可以到达,那么它们必是半连通图,所以考虑先Tarjan缩点(P3387 【模板】缩点(Tarjan缩点+DAGdp)

    接着去除重边重新建图,你会发现,在这个有向无环图(DAG)中,半连通子图都是一条链(可以举反例试试,这条链不可能有分支,否则将有两点无法抵达另一方)

    于是,G的最大半连通子图拥有的节点数K就是最长链长度,不同的最大半连通子图的数目就是最长链个数。

    信息学一本通:最长链可以直接用拓扑排序(topo),最长链个数用一个类似DP的方法,用f【i】表示以 i 为终点的方案数,那么f【i】就等于满足距离为起点到 i 的临时最短距离的点的 f 的和。然后查找距离等于最长链的点,答案为它们的方案数之和

    其他题解中已经给出了拓扑的算法,我借鉴大佬的程序用的是搜索,先一直搜到终点再回来更新答案。由于数据范围#7一直RE,后来改为const int N=1e5+5,M=2e6+5;终于AC。。qwq高性能。。

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    
    const int N=1e5+5,M=2e6+5;
    
    bool f[N];
    //f 在搜索中判断是否走过
    
    int n,m,mod,now,d[N],a[N],ans,maxans,ch[N];
    //d指从u到终点的最长链距离,a指最长链点数,ch指出度
    
    int h[N],u[M],v[M],r[N],nu[M],cnt;
    //h是链式前向星的建边head,u,v保存初始读入的边左右两点,nu存初始时边的编号,r是入度
    
    int top,co,dfn[N],low[N],c[N],s[N],st[N];
    //dfn,low,st用于Tarjan,c表所在强连通分量编号,s指所在强连通分量点数
    
    struct edge {
       int h,to;
    } e[M];
    
    #define rint register int
    #define min(a,b) (a<b? a:b)
    #define max(a,b) (a>b? a:b)
    
    inline bool cmp(int a,int b) {
       return u[a]<u[b] || (u[a]==u[b] && v[a]<v[b]);
    }//将边排序,方便重新建图
    
    inline void add(int u,int v) {
       e[++cnt].h=h[u],h[u]=cnt,e[cnt].to=v;
    }
    
    inline int read() {
       int w=1,ans=0;
       char ch=getchar();
       while(ch>'9'||ch<'0') if (ch=='-') w=-1,ch=getchar();
       while(ch<='9'&& ch>='0') ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
       return ans*w;
    }
    
    inline void Tarjan(int u) {
       dfn[u]=low[u]=++now;
       st[++top]=u;
       for (rint i=h[u]; i; i=e[i].h) {
       	int v=e[i].to;
           if (!dfn[v])
               Tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
           else if (!c[v])
               low[u]=min(low[u],dfn[v]);
       }
       if (low[u]==dfn[u]) {
           c[u]=++co,s[co]++;
           while(st[top]!=u)
               s[co]++,c[st[top]]=co,top--;
           top--;
       }
    }//标准缩点
    
    inline void dfs(int u) {
       f[u]=1;
       if (!ch[u]) {//如果没有出度,即到头了
           d[u]=s[u],a[u]=1;//距离为点数,以u为起点方案为1
           maxans=max(maxans,d[u]);//更新最长链距离
           return;
       }
       for (rint i=h[u]; i; i=e[i].h) {
       	int v=e[i].to;
           if (!f[v]) dfs(v);//继续搜索链的后面
           if (d[v]+s[u]>d[u])//若以u为起点的链距离可以更长
               d[u]=d[v]+s[u],a[u]=a[v]%mod;//更新
           else if (d[u]==d[v]+s[u])//若最长链距离相同
               a[u]=(a[u]+a[v])%mod;//加上方案数
           maxans=max(maxans,d[u]);
       }
    }
    
    int main() {
       n=read(),m=read(),mod=read();
       for (rint i=1; i<=m; i++) u[i]=read(),v[i]=read(),add(u[i],v[i]);
       for (rint i=1; i<=n; i++) if (!dfn[i]) Tarjan(i);
    
       cnt=0;
       memset(h,0,sizeof h);
       memset(e,0,sizeof e);
       for (rint i=1; i<=m; i++)
           nu[i]=i,u[i]=c[u[i]],v[i]=c[v[i]];
    
       sort(nu+1,nu+m+1,cmp);//按u,v排序边
       for (rint i=1; i<=m; i++)
       {
       	int num=nu[i];
           if (u[num]!=v[num] && (u[num]!=u[nu[i-1]] || v[num]!=v[nu[i-1]]))//若此边不是自环,且与上一条边不同(去除重边)
              ++ch[u[num]],++r[v[num]],add(u[num],v[num]);}
    //出度入度加1,加边
       for (rint i=1; i<=co; i++) if (!r[i] && !f[i]) dfs(i);//入度为0且未搜索过
       for (rint i=1; i<=co; i++) if (d[i]==maxans) ans=(ans+a[i])%mod;//统计答案
       printf("%d
    %d
    ",maxans,ans);
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Randolph68706/p/11197172.html
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