莫比乌斯函数学习笔记
莫比乌斯环是非常重要的
莫比乌斯函数是数论中重要内容，所以搞懂它很重要！！！
定义
设 (x=prodlimits_{i=1}^c p_i^{k_i})，其中 (p_i) 为质数。
[mu(x)=egin{cases}
1&x=1\(-1)^c&prodlimits_{i=1}^c k_i=1\0& maxlimits_{i=1}^c k_i>1
end{cases}]
翻译成人话就是说，(mu(1)=1)，如果 (x) 中有平方因子，那么 (mu(x)=0)，否则 (mu(x)) 的值由 (x) 中质因子数量奇偶决定。
这个定义其实很简单，然而莫比乌斯函数最重要的是它特殊的性质，我们来看看他有什么性质。
性质
- (mu) 是一个积性函数
- (muast 1= varepsilon)
证明网上遍地都是，自己搜，懒得写了
莫比乌斯反演
定义
如果我们有 (f=gast 1)，那么 (g=fast mu)
证明
[egin{aligned}
f=gast 1\fast mu=gastmuast \gastvarepsilon=fast mu\g=fast mu\&square
end{aligned}]
其实莫比乌斯函数和莫比乌斯反演简单的很，就是狄利克雷卷积的一个应用，我们做题时经常会用到 (mu) 本身定义和 (muast 1=varepsilon) 这个性质。