莫比乌斯函数学习笔记

莫比乌斯函数学习笔记

莫比乌斯环是非常重要的

莫比乌斯函数是数论中重要内容，所以搞懂它很重要！！！

定义

设 (x=prodlimits_{i=1}^c p_i^{k_i})，其中 (p_i) 为质数。

[mu(x)=egin{cases} 1&x=1\(-1)^c&prodlimits_{i=1}^c k_i=1\0& maxlimits_{i=1}^c k_i>1 end{cases}]

翻译成人话就是说，(mu(1)=1)，如果 (x) 中有平方因子，那么 (mu(x)=0)，否则 (mu(x)) 的值由 (x) 中质因子数量奇偶决定。

这个定义其实很简单，然而莫比乌斯函数最重要的是它特殊的性质，我们来看看他有什么性质。

性质

1. (mu) 是一个积性函数
2. (muast 1= varepsilon)

证明网上遍地都是，自己搜，懒得写了

莫比乌斯反演

定义

如果我们有 (f=gast 1)，那么 (g=fast mu)

证明

[egin{aligned} f=gast 1\fast mu=gastmuast \gastvarepsilon=fast mu\g=fast mu\&square end{aligned}]

其实莫比乌斯函数和莫比乌斯反演简单的很，就是狄利克雷卷积的一个应用，我们做题时经常会用到 (mu) 本身定义和 (muast 1=varepsilon) 这个性质。