匀速拉地毯最少需要多大的力

问题

地上铺着一张长而薄的柔软地毯。地毯一端折起，以恒定速度将折起的一端向后拉，地毯地面部分保持静止。设拉地毯的速度为1，保持不变，求地毯被拉起部分质心的速度。设地毯的长度为1，质量为1，求拉动地毯所需要的最小的力是多大。

提示

地毯移动部分速度小于地毯移动端速度，因为地毯移动部分的质量在不断增加。

解答

设某时刻地毯移动端位置为(x)，如图所示，则地毯另一端位置为(x/2)，于是地毯移动部分的质心的位置为(3x/4)。根据题意，(mathrm dx/mathrm dt=1)，所以，地毯移动部分的质心的速度仅为(3/4)

地毯被拉起部分的动量为(p=mv)，这里(v=1)，而(m)均匀增加。根据牛顿第二定律，地毯移动部分合外力为

egin{equation*} F=frac{mathrm dp}{mathrm dt}=frac{mathrm dm}{mathrm dt}v+frac{mathrm dv}{mathrm dt}m=frac{mathrm dm}{mathrm dt}1+0 end{equation*}

地毯移动部分质量变化率计算如下。(t=0)时刻，处于坐标原点的地毯一端开始被拉起，等到整个地毯都开始移动的时候，地毯移动端位置为(x=2)，此时时刻为(t=2)，因此(mathrm dm/mathrm dt=1/2)。没有能量耗散时拉力最小，因此最小拉力为(F=1/2)。