【数论】要求较为快速的筛选x的所有因数 以及 反质数的概念

Comet OJ - 模拟赛 #2 Day2 序列

题目大意及输入描述：

给两个整数n和q 表示序列长度和询问个数

然后n个整数 表示序列里的ai

然后q行，每行三个整数op,x,y：

　　op=1为修改操作，表示将所有下标是x的因数的数加上y；

　　op=2为询问操作，求[x,y]区间的和。

数据范围：

n,q<=10^5,x<=2*10^9,y<=10^9

思路：

我当时没有认为可行的思路 所以直接用树状数组和√n求因数   的这种暴力做法勉勉强强拿到70分。

其实有一个思路，我没细想(细想大概也会认为不行)，以为不行，但其实是我后来ac的做法：

筛x的素数，然后根据筛出来的素数去组合成x的所有因数。

题解这么说：

注意到2*10^9内反质数的因数个数在10^3级别，远小于√x，考虑根据利用这个性质进行优化。
质数出现的概率大概在O(1/logx)级别，我们预处理出√2*10^9  范围内的所有质数，用其对 x进行质因数分解。复杂度 O(√x/logx + σ₀(x))，可以看做和√n同阶。
发现修改操作有约O(n√n)个，而查询只有 O(n) 个，用O(1)修改,O(√n)查询的分块维护即可。由 于树状数组本身常数小，实现优秀也可以通过。时间复杂度 O(n√n)。

反质数见这里：P1463 [POI2002][HAOI2007]反素数

顺便从这道题记下一个了结论：

若正整数m能分解成m=p1^a1+p2^a2+...+pk^ak（p是质数）

则m的因数个数是(a1+1)*(a2+1)*...*(ak+1)

(与接下来无关)

然后我这么做了，用树状数组，一个样例超时，加了快读就卡过去了。

#include<bits/stdc++.h>
#define debug printf("!");
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+5;


inline int read(int&x)
{
    char c;
    while(!isdigit(c=getchar()));x=c-'0';
    while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
}

int pri[maxn+5]={0},isp[maxn+5]={0};
void init()
{
    int p=0;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!isp[i])pri[++p]=i;
        for(int j=1;j<=p&&i*pri[j]<=maxn;j++)
        {
            isp[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)break;
        }
    }
}

int n;
ll c[maxn];
inline void update(int x,ll v)
{
    while(x<=n){c[x]+=v;x+=x&-x;}
}
inline ll getsum(int x)
{
    ll ans=0;
    while(x){ans+=c[x];x-=x&-x;}
    return ans;
}
inline ll sum(int l,int r)
{
    return getsum(r)-getsum(l-1);
}


int fac[maxn];
inline void dfs(int v,int fa,int id,int y)
{
    if(id>fac[0])return;
    dfs(v,fa,id+1,y);
    v*=fac[id];
    while(fa%v==0)
    {
        update(v,y);
        if(fa/v>=fac[id+1])dfs(v,fa,id+1,y);
        v*=fac[id];
    }
}

int main()
{
    init();
    int q,op,x,y,tx;
    read(n);read(q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        read(x);update(i,x);
    }
    while(q--)
    {
        read(op);read(x);read(y);
        if(op==1)
        {
            fac[0]=0;tx=x;
            for(int i=1;pri[i]<=tx;i++)
            {
                if(pri[i]>n)break;
                if(tx%pri[i]==0)
                {
                    fac[++fac[0]]=pri[i];
                    while(tx%pri[i]==0)tx/=pri[i];
                }
            }
            if(fac[0])dfs(1,x,1,y);
            update(1,y);
        }
        else
        {
            printf("%lld
",sum(x,y));
        }
    }
}