本文为个人解题思路整理，水平有限，有问题欢迎交流
概览
本题已数独问题为背景，要求计算出唯一解，表面是一个暴力深搜和回溯的问题，然而实际上如何优化才是精华所在
难度：中等
核心知识点：DFS（回溯）、状态压缩、位运算
题目来源
力扣：https://leetcode-cn.com/problems/sudoku-solver
题目内容
编写一个程序，通过已填充的空格来解决数独问题。
一个数独的解法遵循如下规则：
- 数字
1-9在每一行只能出现一次。 - 数字
1-9在每一列只能出现一次。 - 数字
1-9在每一个以粗实线分隔的3x3宫内只能出现一次。
本题满足以下设定：
- 给定的数独序列只包含数字
1-9和字符'.'。 - 你可以假设给定的数独只有唯一解。
- 给定数独永远是
9x9形式的。
样例
源数据
结果
解题思路
-
基本思路：显然可以使用递归
DFS暴力搜索每个可能的结果- 若最终所有结果被排除则搜索失败
- 若所有空白被填充即搜索成功
-
剪枝：只需要搜索空白点就可以了，那么可以将这些空白点整理出来
-
剪枝：玩过数独的都知道先从选择少的点下手，这里同理，可以减少搜索的可能路径数量
-
优化：搜索的时候需要确定当前点可能的数字，而这些数字要求不允许与同行、同列、同块（3*3）相同，那么可以提前将每行、每列、每块已出现的数字存储起来，只需要检查某个点所在的行列块就能知道可选数字，第一想法是存在数组里，
-
优化：行列快均只允许
1-9数字，那么可以用二进制数字表示，第i位为1则代表数字i出现过，为0则代表没出现过，注意二级制高位在右边，比如第一行的二进制是001010100，这样处理带来下面几个好处-
每行仅需要一个10位二进制数字表示即可，最大也就2047，总共只需要三个
int[9]即可分别存放行、列、块的状态 -
使用位运算进行数据变更或者检查都极其方便（性能消耗也小）
如某个目标状态为
states，进行以下操作- 将第
i位设为1：state |= 1 << i - 将第
i位设为0：state ^= 1 << i - 检查第
i位是否为0：(state >> i) % 2 == 0
- 将第
-
-
优化：因为只需要获得唯一解，那么放置一个全部变量用于标记是否找到答案即可。当标记为
true的时候即结束所有搜索，不再搜索；若检查了所有可能性，该标记仍未false则证明没有答案当然，如果答案不止一个就不能这么处理了
解题思路确定，开始整理解题方案
解题方案
-
遍历整个棋盘的每个点，以计算行、列、块的状态，并获取
- 若该点为
.，证明为空白，将这个点存储在列表中 - 若该点不位
.，证明为数字，将相关的行、列、块中标记已出现过这个数字
- 若该点为
-
开始深度搜索
-
获取选择可能性最小的点
position，并计算其可能的所有数字 -
检查
position是否存在，不存在则证明所有空点已填充，修改标记为搜索成功，并结束递归 -
用数字
i枚举1-9-
检查是否是否允许数字
i，不允许则跳过 -
修改数据
-
将当前搜索的点修改为数字
i -
修正与当前相关的行、列、块的状态
-
将当前点标记为已填充
-
-
进行下一层搜索
-
检查搜索成功的标记，若搜索成功则结束递归
-
撤回修改数据
-
将当前搜索的点修改为空白
. -
修正与当前相关的行、列、块的状态
-
将当前点标记为未填充
-
-
-
完整代码
class DemoBasicApplicationTests {
@Test
void test() {
char[][] board = {
{'5', '3', '.', '.', '7', '.', '.', '.', '.'},
{'6', '.', '.', '1', '9', '5', '.', '.', '.'},
{'.', '9', '8', '.', '.', '.', '.', '6', '.'},
{'8', '.', '.', '.', '6', '.', '.', '.', '3'},
{'4', '.', '.', '8', '.', '.', '.', '.', '1'},
{'7', '.', '.', '.', '2', '.', '.', '.', '6'},
{'.', '6', '.', '.', '.', '.', '2', '8', '.'},
{'.', '.', '.', '4', '1', '9', '.', '.', '5'},
{'.', '.', '.', '.', '8', '.', '.', '7', '9'}
};
solveSudoku(board);
}
public int[] col = new int[9];//行
public int[] row = new int[9];//列
public int[][] block = new int[3][3];//块
List<Integer> list = new ArrayList<>();//空白位列表
boolean flag = false;//标记，用于识别搜索是否成功
/**
* 解决方案
*/
public void solveSudoku(char[][] board) {
//初始化
init(board);
//执行dfs搜索
dfs(board);
//打印结果
// System.out.println(flag);
out(board);
}
/**
* 打印board
* 调试用
*
* @param board 目标board
*/
public void out(char[][] board) {
for (int i = 0; i < 9; i++) {
for (int j = 0; j < 9; j++) {
System.out.print(board[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
System.out.println();
}
/**
* 初始化，填充行、列、块以及空白位列表的值
*
* @param board 目标board
*/
public void init(char[][] board) {
for (int i = 0; i < 9; i++) {
for (int j = 0; j < 9; j++) {
if (board[i][j] != '.') {
//不为空的时候，更新行、列、块的值
update(i, j, board);
} else {
//为空，则将其添加到空白位列表
list.add(i * 9 + j);
}
}
}
}
/**
* 执行搜索
* 在排除所有可能后结束搜索，flag标记搜索成功或失败
*
* @param board 目标board
*/
private void dfs(char[][] board) {
//查询到list中下一个位置
int nextPosition = getNextPosition();
//找不到下一个尝试位置，即所有点均填充完成，则结束搜索，并判断为搜索成功
if (nextPosition < 0) {
flag = true;
return;
}
//下一个位置的棋盘中的位置
int next = list.get(nextPosition);
int state = getState(next);
//从1开始检索，检索到9
int i = 0;
while (++i < 10) {
//开始尝试
if ((state >> i) % 2 == 0) {//第i位为0，则证明该位置可能为i
//更新行列
board[next / 9][next % 9] = (char) (i + '0');
list.set(nextPosition, -1);
update(next / 9, next % 9, board);
// out();
// System.out.println("" + next / 9 + " " + next % 9 + " " + i);
//开始搜索下一个位置
dfs(board);
//找到答案，结束搜索
if (flag) {
return;
}
//未找到答案，撤回修改，继续尝试
board[next / 9][next % 9] = '.';
list.set(nextPosition, next);
update(next / 9, next % 9, i, board);
}
}
}
/**
* 获取下一个位置
*
* @return 下一个位置在list中的位置，若结果为-1则证明没有需要查询的结果
*/
private int getNextPosition() {
int position = -1;
int minNum = -1;
for (int i = 0; i < list.size(); i++) {
//忽略被标记为-1的位置
if (list.get(i) >= 0) {
//找到可能性最少的位置
int possibleNum = getPossibleNum(list.get(i));
if (position < 0 || possibleNum < minNum) {
minNum = possibleNum;
position = i;
}
}
}
return position;
}
/**
* 计算可能数字的数量
*/
private int getPossibleNum(int position) {
int state = getState(position);
int num = 0;
//遍历每个二进制位，若为1则计数器加1
while (state > 0) {
num += state & 1;
state >>= 1;
}
return 9 - num;
}
/**
* 查询某个位置的状态
*/
private int getState(int position) {
int x = position / 9;
int y = position % 9;
int state = col[x] | row[y] | block[x / 3][y / 3];
return state;
}
/**
* 更新某个位置的数据
*
* @param x 横坐标
* @param y 纵坐标
* @param board 棋盘
*/
private void update(int x, int y, char[][] board) {
int num = 1 << (board[x][y] - '0');
col[x] |= num;
row[y] |= num;
block[x / 3][y / 3] |= num;
}
/**
* 更新某个位置的数据到指定数字
*
* @param x 横坐标
* @param y 纵坐标
* @param target 目标数字
* @param board 棋盘
*/
private void update(int x, int y, int target, char[][] board) {
int num = 1 << target;
col[x] ^= num;
row[y] ^= num;
block[x / 3][y / 3] ^= num;
}
}
执行结果：
性能：
记得关闭掉打印，否则会影响执行时间
后记
表面深搜，实则优化，提出解决方案并不难，提出优质的解决方案才是我们该追求的
作者：Echo_Ye
WX：Echo_YeZ
Email ：echo_yezi@qq.com
个人站点：在搭了在搭了。。。（右键 - 新建文件夹）