合分比定理

前言

注意引入非零比例因子的技巧的运用；

比例性质

• 合比定理

如果(cfrac{a}{b}=cfrac{c}{d})，那么(cfrac{a+b}{b}=cfrac{c+d}{d})，其中(b，d eq 0)；

证法1：由题目可知，(cfrac{a}{b}+1=cfrac{c}{d}+1)，整理得到(cfrac{a+b}{b}=cfrac{c+d}{d})，

证法2：令(cfrac{a}{b}=cfrac{c}{d}=k)，则(a=bk)，(c=dk)，代入得到

(cfrac{a+b}{b}=cfrac{bk+b}{b}=k+1)，(cfrac{c+d}{d}=cfrac{dk+d}{d}=k+1)，

故(cfrac{a+b}{b}=cfrac{c+d}{d})；

• 分比定理

如果(cfrac{a}{b}=cfrac{c}{d})，那么(cfrac{a-b}{b}=cfrac{c-d}{d})，其中(b，d eq 0)；

证法1：由题目可知，(cfrac{a}{b}-1=cfrac{c}{d}-1)，整理得到(cfrac{a-b}{b}=cfrac{c-d}{d})，

证法2：同上；

• 合分比定理

如果(cfrac{a}{b}=cfrac{c}{d})，那么(cfrac{a+b}{a-b}=cfrac{c+d}{c-d})，其中(b，d，a-b，c-d eq 0)；

证明：令(cfrac{a}{b}=cfrac{c}{d}=k)，则(a=bk)，(c=dk)，

则(cfrac{a+b}{a-b}=cfrac{bk+b}{bk-b}=cfrac{k+1}{k-1})，(cfrac{c+d}{c-d}=cfrac{dk+d}{dk-d}=cfrac{k+1}{k-1})，

故(cfrac{a+b}{a-b}=cfrac{c+d}{c-d})，

• 更比定理

如果(cfrac{a}{b}=cfrac{c}{d})，那么(cfrac{a}{c}=cfrac{b}{d})，其中(a，b，c，d eq 0)；

证明：令(cfrac{a}{b}=cfrac{c}{d}=k)，则(a=bk)，(c=dk)，代入得到

(cfrac{a}{c}=cfrac{bk}{dk}=cfrac{b}{d})；即(cfrac{a}{c}=cfrac{b}{d})；

应用举例

例1在( riangle ABC)中，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{a+b-c}{sinA+sinB-sinC})；

证明：引入非零比例因子，如(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC}=2R)，

则(a=2RsinA)，(b=2RsinB)，(c=2RsinC)，代入上式右端，得到

(cfrac{a+b-c}{sinA+sinB-sinC}=cfrac{2R(sinA+sinB-sinC)}{sinA+sinB-sinC}=2R=cfrac{a}{sinA})；

故在( riangle ABC)中，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{a+b-c}{sinA+sinB-sinC})成立；

同理，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC})；

例2【2016全国卷Ⅲ】已知(Delta ABC)的内角为(A、B、C)，(2sinA=sqrt{3}sinB=3sinC)，则(cosB)的值为多少？

分析：设(2sinA=sqrt{3}sinB=3sinC=k)，

则(sinA=cfrac{k}{2})，(sinB=cfrac{k}{sqrt{3}})，(sinC=cfrac{k}{3})，

则有(a：b：c=sinA：sinB：sinC)，即(a：b：c=cfrac{k}{2}：cfrac{k}{sqrt{3}}：cfrac{k}{3}=3：2sqrt{3}：2)

由此再设得到(a=3m)，(b=2sqrt{3}m)，(a=2m(m>0))(引入非零比例因子的好处)，

由余弦定理可知，(cosB=cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=cfrac{9m^2+4m^2-12m^2}{2cdot 3mcdot 2m}=cfrac{1}{12})。

反思：1、灵活运用比例的性质，会大大简化运算；2、非零比例因子的引入，也要注意学习运用。