巧用绝对值解题

给邮箱回复了，但一直没回应，不知为何。

• 2.2 巧解绝对值求值（10页）

它说的那个常规策略有点假啊，会有学生不看题设直接讨论零点么？

• 12页题6

某环形道路上顺次排列有四所中学：(A_1)、(A_2)、(A_3)、(A_4), 它们分别有彩电 (15) 台、(8) 台、(5) 台、(12) 台.为试各校的彩电数相同, 允许一些中学向相邻中学调出彩电, 问怎样调配才能使调出的彩电总台数最少？

这个类型的题目，我第一次见到是在Algebra上。那里的题目比这个要复杂一点，但是配上了一个图。

解答如下：

设 (A_1) 中学调给 (A_2) 中学 (x_1) 台彩电（若 (x_1) 为负数，则认为是 (A_2) 中学向 (A_1) 中学调出 (-x_1)台彩电，以下同）；(A_2) 中学调给 (A_3) 中学 (x_2) 台彩电；(A_3) 中学调给 (A_4) 中学 (x_3) 台彩电；(A_4) 中学调给 (A_1) 中学 (x_4) 台彩电．
因为彩电共有 (15+8+5+12=40) 台，平均每校 (10) 台。
所以

[15-x_1+x_4=10,quad 8-x_2+x_1=10，quad 5-x_3+x_2=10，12-x_4+x_3=10 ]

[x_4=x_1-5，quad x_1=x_2+2，quad x_2=x_3+5，x_3=x_4-2 ]

[x_4=x_1-5，quad x_2=x_1-2，quad x_3=x_2-5=x_1-2-5=x_1-7 ]

题目要求 (y=|x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|=|x_1|+|x_1-2|+|x_1-7|+|x_1-5|) 的最小值，其中 (x_1) 是满足 (-8leq x_1leq 15) 的整数．
设 (x_1=x)，考虑定义在 (-8leq x_1leq 15) 上的函数

[y=|x|+|x-2|+|x-7|+|x-5|. ]

因为 (|x|+|x-7|) 表示数 (x) 到 (0) 与 (7) 的距离之和，当 (0leq xleq 7) 时，(|x|+|x-7|) 取得最小值 (7)；
同理，当 (2leq xleq 5) 时，(|x-2|+|x-5|) 取得最小值 (3)。
故当 (2leq x leq 5) 时，(y) 取最小值 (10)，即当 (x=2)，(3)，(4)，(5) 时，(|x_1|+|x_1-2|+|x_1-7|+|x_1-5|) 取最小值 (10)．所以，调出彩电最少总台数为 (10)．