齐次式的相关知识

前言

高中数学中没有提到齐次式，但是在具体运算中时不时的会用到这一理论，故做以总结。与齐次式紧密相关的是“变量集中策略”.^[1]

相关概念

以表达式(2x^2-3xy+y^2)为例，其中的每一项的次数都是二次的，平齐的，故(2x^2-3xy+y^2)称为关于(x，y)的二次齐次式；(3x+4y)是关于(x)，(y)的一次齐次式；那么(2x^2-3x+y^2)不能成为二次齐次式，原因是中间项(3x)为一次式。

引申拓展：

• 关于(x，y)的一次齐次式：

举例：(3x+4y)，(2x)，(5y)；

• 关于(x，y)的二次齐次式：

举例：(3x^2-4xy+2y^2)；(x^2+2y^2)；(2x^2+3xy)；(2xy+3y^2)；

• 关于(sin heta，cos heta)的一次齐次式：

举例：(2sin heta-3cos heta)，(3sin heta)，(4cos heta)；

• 关于(sin heta，cos heta)的二次齐次式：

举例：(3sin^2 heta-4sin heta cos heta+2cos^2 heta)；(sin^2 heta+2cos^2 heta)；(2sin^2 heta+3sin heta cos heta)；(2sin heta cos heta+3cos^2 heta)；

使用场景

由于是齐次式，所以常常可以利用变量集中思想，减少变量的个数，常涉及到的变形有变量集中策略，分数裂项法，常见使用于分式型函数或可以转化为分式型函数，或多项式型函数。可以借助下例体会。

• 如关于(x，y)的一次齐次式的分式形式常用的下述变换：

(cfrac{2x+3y}{x-y}=cfrac{2frac{x}{y}+3}{frac{x}{y}-1}xlongequal[令frac{x}{y}=t]{换元法}cfrac{2t+3}{t-1})(=cfrac{2t-2+5}{t-1}=2+cfrac{5}{t-1})

• 如关于(x，y)的二次齐次式的分式形式常用的下述变换：

(z=cfrac{x^2+y^2}{xy}=cfrac{x}{y}+cfrac{y}{x}=k+cfrac{1}{k})；

• 关于(sin heta，cos heta)的一次或二次齐次式的分式形式常用的下述变换：

比如：(cfrac{asin heta+bcos heta}{csin heta+dcos heta}xlongequal[分子分母是sin heta,cos heta的一次齐次式]{分子分母同除以cos heta}cfrac{a an heta+b}{c an heta+d}) ((a,b,c,d)为常数)；

小结：实现了二元(sin heta、cos heta)向一元(tan heta)的转化；

比如：(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta}=cfrac{2sin heta cos heta-cos^2 heta}{2sin^2 heta+cos^2 heta}xlongequal[分子分母是sin heta,cos heta的二次齐次式]{分子分母同除以cos^2 heta}cfrac{2tan heta-1}{2tan^2 heta+1})

小结：实现了二元(sin heta、cos heta)向一元(tan heta)的转化；

再比如：(asin2 heta+bcos2 heta=cfrac{asin2 heta+bcos2 heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{a an heta+b-b an^2 heta}{tan^2 heta+1})，

其余留作思考：(sin2 heta)， (cos2 heta)，(1+sin2 heta)， (2-cos2 heta)，(3sin2 heta-2cos2 heta) 等等

①(z=cfrac{a+sqrt{2}b}{sqrt{2}a+b})；分子分母同除以(b)变形得到，(z=cfrac{frac{a}{b}+sqrt{2}}{sqrt{2}frac{a}{b}+1}xlongequal{t=frac{a}{b}}cfrac{t+sqrt{2}}{sqrt{2}t+1})

②(z=cfrac{2a^2+4ab-3b^2}{a^2+ab+b^2})；分子分母同除以(b^2)变形得到，(z=cfrac{2(frac{a}{b})^2+4frac{a}{b}-3}{(frac{a}{b})^2+frac{a}{b}+1}xlongequal{t=frac{a}{b}}cfrac{2t^2+4t-3}{t^2+t+1})

③(cfrac{asin heta+bcos heta}{csin heta+dcos heta}xlongequal[分子分母是sin heta,cos heta的一次齐次式]{分子分母同除以cos heta}cfrac{a an heta+b}{c an heta+d}) ((a,b,c,d)为常数)；

④(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta}=cfrac{2sin heta cos heta-cos^2 heta}{2sin^2 heta+cos^2 heta}xlongequal[分子分母是sin heta,cos heta的二次齐次式]{分子分母同除以cos^2 heta}cfrac{2tan heta-1}{2tan^2 heta+1})

⑤(a^2-5ab+4b^2>0)，两端同除以(b^2)得到，((cfrac{a}{b})^2-5cfrac{a}{b}+4>0)，得到(cfrac{a}{b}<1)或(cfrac{a}{b}>4)；

⑥(c^2-4ac+4a^2=0)，得到((cfrac{c}{a})^2-4cfrac{c}{a}+4=0)，即(e^2-4e+4=(e-2)^2=0)。

⑦(a^2+8b^2geqslant lambda b(a+b))对于(a)，(bin R)恒成立，变形为(t^2-lambda t+8-lambdageqslant 0)对(tin R)恒成立，^[2]

⑧(2x^2+(1-a)y^2ge (3+a)xy(x>0，y>0))

其一变形：(aleq cfrac{2x^2+y^2-3xy}{y^2+xy})，

其二变形：(2(cfrac{x}{y})^2-(a+3)(cfrac{x}{y})+(1-a)ge 0)，令(cfrac{x}{y}=t>0)，即(2t^2-(a+3)t+(1-a)ge 0)对任意(t>0)恒成立，

典例剖析

例01已知(tanalpha=cfrac{1}{2})，求(sin^4alpha-cos^4alpha)的值。

【法1】：方程组法，由(left{egin{array}{l}{cfrac{sinalpha}{cosalpha}=cfrac{1}{2}}\{sin^2alpha+cos^2alpha=1}end{array} ight.)，

解得(sin^2alpha=cfrac{1}{5})，(cos^2alpha=cfrac{4}{5})，代入得到(sin^4alpha-cos^4alpha=-cfrac{3}{5})；

【法2】：齐次式法，

(sin^4alpha-cos^4alpha)(=(sin^2alpha-cos^2alpha)(sin^2alpha+cos^2alpha))(=sin^2alpha-cos^2alpha)

(=-cfrac{cos^2alpha-sin^2alpha}{sin^2alpha+cos^2alpha})(=cfrac{1-tan^2alpha}{1+tan^2alpha}=-cfrac{3}{5})；

【法3】：由(cfrac{sinalpha}{cosalpha}=cfrac{1}{2})，引入比例因子，可设(sinalpha=k)，(cosalpha=2k(k eq 0))，

由(k^2+(2k)^2=1)，可得(k^2=cfrac{1}{5})，故(k^4=cfrac{1}{25})，

则(sin^4alpha-cos^4alpha=k^4-(2k)^4=-15k^4=-cfrac{3}{5})；

例02已知实数(a、b)满足条件(left{egin{array}{l}{a+b-2ge 0}\{b-a-1leq 0}\{aleq 1}end{array} ight.)，求(cfrac{a+2b}{2a+b})的取值范围。

【法1】转化为斜率型，思路如下：由于所求值函数为分式形式的关于(a、b)的二次齐次式，

故可以转化为(cfrac{a+2b}{2a+b}=cfrac{1+2cdot cfrac{b}{a}}{2+cfrac{b}{a}})(=2-cfrac{3}{2+k}=f(k))，其中(k=cfrac{b}{a})

这样先由可行域求得(k=cfrac{b}{a}in [1，3])函数(f(k))在区间([1，3])上单调递增，

然后用单调性，求得(cfrac{a+2b}{2a+b}in [1，cfrac{7}{5}])

【法2】换元法，令(a+2b=n)，(2a+b=m)，联立解以(a、b)为元的方程组，得到

(a=cfrac{2m-n}{3})，(b=cfrac{2n-m}{3})，代入原不等式组，可将原约束条件转化为关于(m 、n)的不等式组，

即已知(m 、n)满足条件(left{egin{array}{l}{m+n-6ge 0}\{n-m-1leq 0}\{2m-n-3leq 0}end{array} ight.)，求(cfrac{n}{m})的取值范围。

利用数形结合思想可得，(cfrac{a+2b}{2a+b}=cfrac{n}{m}in [1，cfrac{7}{5}])。图像

高考相关

例1【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第21题】部分解答过程集锦

(S_{ riangle PQG}=cfrac{8(y_0x_0^3+x_0y_0^3)}{2x_0^4+2y_0^4+5x_0^2y_0^2}) (xlongequal[化简整理得到]{给分子分母同除以x_0^2y_0^2}) (cfrac{8(frac{x_0}{y_0}+frac{y_0}{x_0})}{2(frac{x_0}{y_0}+frac{y_0}{x_0})^2+1})

令(t=frac{x_0}{y_0}+frac{y_0}{x_0})，则(tgeqslant 2)，

则(S_{ riangle PQG}=cfrac{8t}{2t^2+1}=cfrac{8}{2t+frac{1}{t}})

利用对勾函数(f(t)=2t+cfrac{1}{t})在([2，+infty))上的单调性可知，

(f(t)geqslant 4+cfrac{1}{2}=cfrac{9}{2})(当(t=2)时取到等号)

所以(S_{ riangle PQG}leqslant cfrac{8}{frac{9}{2}}=cfrac{16}{9})

例2【2016第三次全国大联考地16题】若不等式(2x^2+(1-a)y^2ge (3+a)xy(x>0，y>0))恒成立，求实数(a)的最大值。

【法1】：分离参数+构造函数，由题目可得(aleq cfrac{2x^2+y^2-3xy}{y^2+xy})，

令(f(x,y)= cfrac{2x^2+y^2-3xy}{y^2+xy}xlongequal[关于x，y的二次齐次式]{分子分母同除以y^2}cfrac{2(cfrac{x}{y})^2-3cfrac{x}{y}+1}{1+cfrac{x}{y}}\xlongequal[令cfrac{x}{y}=t>0]{二元变一元}g(t)=cfrac{2t^2-3t+1}{t+1}=2(t+1)+cfrac{6}{t+1}-7ge 2sqrt{12}-7=4sqrt{3}-7)

当且仅当(t=sqrt{3}-1)时取到等号。

故有(aleq 4sqrt{3}-7)，所以(a_{max}=4sqrt{3}-7)。

【法2】：二元变一元，两边同除以(y^2)，得到(2(cfrac{x}{y})^2-(a+3)(cfrac{x}{y})+(1-a)ge 0)，

令(cfrac{x}{y}=t>0)，即(2t^2-(a+3)t+(1-a)ge 0)对任意(t>0)恒成立，

令(g(t)=2t^2-(a+3)t+(1-a)) ，则分以下两种情形：

(1^。) (Delta=a^2+14a+1leq 0)，

解得(-4sqrt{3}-7leq a leq 4sqrt{3}-7)；

(2^。) (egin{cases}Delta >0\cfrac{a+3}{2cdot2}<0\g(0)=1-age 0 end{cases})，

解得(a<-4sqrt{3}-7)；

综上可知，(aleq 4sqrt{3}-7)，故(a_{max}=4sqrt{3}-7)。

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1. 参见变量集中策略 ↩︎

2. 将(lambda)看成参数，则不等式的两端是二次齐次式，故想到变量集中策略，给不等式的两边同除以(b^2)，得到
   即(cfrac{a^2}{b^2}+8geqslant lambda(cfrac{a}{b}+1))恒成立，令(cfrac{a}{b}=tin R)，
   则(t^2-lambda t+8-lambdageqslant 0)对(tin R)恒成立，故(Deltaleqslant 0)，
   即(Delta=(-lambda)^2-4(8-lambda)leqslant 0)，即((lambda+8)(lambda-4)leqslant 0)，
   解得(-8leqslant lambda leqslant 4)，即(lambda in [-8，4])。 ↩︎