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  • BZOJ3197 & 组合乱搞

    Description
        求[sum_{i = 1}^{n}i^m m^i , m leq 1000 ] 的值.
    Solution
        From Miskcoo's Space:
            设 egin{eqnarray*} f(i) = sum_{k=1}^n k^i cdot m^k end{eqnarray*} 则我们要求$f(m)$.
            
            所谓的"扰动法":
            [egin{split}
               (m-1)f(i) &= m cdot sum_{k = 1}^{n} k^i m^k - sum_{k = 1}^{n}k^i m^k \
                          &= sum_{i=1} ^ {n+1} (k-1)^i m^k - sum_{k = 1}^{n}k^i m^k \
                          &= n^i m^{n+1} + sum_{k = 1} ^n m^k sum_{j = 0}^{i-1} {i choose j} cdot (-1)^{i - j} cdot k^j \
                          &= n^i cdot m^{n + 1} + sum_{j = 0}^{i - 1} {i choose j} cdot (-1)^{i - j} sum_{k = 1}^n k^j cdot m^k \
                          &= n^i cdot m^{n + 1} + sum_{j = 0}^{i - 1} {i choose j} cdot (-1)^{i - j} cdot f(j) \
            end{split}]
            
            然后就变成了一个递推的问题.
            基本思路是什么呢?从已知到未知,观察式子的特征进行转化来简化运算.但是自己什么时候才能把和式变换得这么溜呢....

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/YCuangWhen/p/5406753.html
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