钢条切割

动态规划（dynamic programming）与分治算法相似,都是通过组合子问题的解来求解原问题（在这里，“programming”指的是一种表格法，并非编写计算机程序）。分治方法将问题规划为互不相交的子问题，在将他们组合起来，求出原问题的解。与之相反，动态规划应用于子问题重叠的情况，即不同的子问题具有公共的子问题(子问题的求解是递归进行的，将其划分为更小的子问题)。在这种情况下，分治算法会做许多不必要的工作，他会反复地求解那些公共子问题。而动态规划对每个子问题只求解一次，将其解保存在一个表格中，从而无需每次求解一个子问题时都重新计算，避免了这种不必要的计算工作。

 动态规划之钢条切割问题：

问题描述：

假定我们知道sering公司出售一段长度为I英寸的钢条的价格为pi(i=1,2,3….)钢条长度为整英寸如图给出价格表的描述

长度i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
价格p[i]	1	5	8	9	10	17	17	20	24

若钢条的长度为i，则钢条的价格为Pi，如何对给定长度的钢条进行切割能得到最大收益？

钢条切割算法简单实现，欢迎交流。

<?php
$p = array(
  1 => 1,
  2 => 5,
  3 => 8,
  4 => 9,
  5 => 10,
  6 => 17,
  7 => 17,
  8 => 20,
  9 => 24,
  10=> 30
);

cutRod($p, 10);
function cutRod($p, $n)
{
  $r[0] = 0;

  for ($j=1; $j<=$n; $j++)
  {
    $q = -1;
    for ($i=1; $i<=$j; $i++)
    {
      if ($q < $p[$i] + $r[$j-$i] )
      {
        $q = $p[$i] + $r[$j-$i];
        $s[$j] = $i;
      }
    }
    $r[$j] = $q;
  }
  print_r($s);
  print_r($r);  //最优化结果
}

?>

结果如下：

Array
(
[1] => 1
[2] => 2
[3] => 3
[4] => 2
[5] => 2
[6] => 6
[7] => 1
[8] => 2
[9] => 3
[10] => 10
)
Array
(
[0] => 0
[1] => 1
[2] => 5
[3] => 8
[4] => 10
[5] => 13
[6] => 17
[7] => 18
[8] => 22
[9] => 25
[10] => 30
)